随机过程-习题-第6章

随机过程习题第6章6-16.16.26.36.4设有n维随机矢量)(21n服从正态分布，各分量的均值为niaEi,,2,1,，其协方差矩阵为2222222000000aaaB试求其特征函数。解：n元正态分布的特征函数为}21exp{),,,(21][BtttjtttnniaEi,,2,1,),,,(21ntttt，则niijattj1),,,(2122322222121nntttttattattBtt=22223232222221221nttatttattt=1121122niiiniiattt随机过程习题第6章6-2]21exp[)]21(exp[),,,(112112221][niiiniiinatttjatttt6.5.设n维正态分布随机矢量)(21nT各分量的均值为iEi，ni,3,2,1，各分量间的协方差为nimimnbim,3,2,1,|,|,设有随机变量nii1，求的特征函数。解：易得：n21]111[2)1(][][11nniEEninii协方差矩阵为：nnnnnnnnnn321312211121B所以]111[]111[BD=223nn由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以的特征函数为：2456822)1(exp)(tnnntnnjt6.6设有三维正态分布随机矢量)(321T，其各分量的均值为零，即0][iE)3,2,1(i，其协方差矩阵为333231232221131211bbbbbbbbbB随机过程习题第6章6-3其中，2332211bbb，试求：（1）321E（2）232221E（3）)])()([(223222221E解：（1）由教材467P页可看出3,2,1,,,,321321itttuttttiijijitttuutttbtttttjiijji且3,2,1,,,,,,,3213213212，3213211232133123213213211233212133213123213213,,,,,,,,,,,,tttuuuubububtttuuutttubtttubtttubtttttt其中：321,,ttt为零均值的三元正态分布随机变量321,,的特征函数3132121exp,,kkkutttt31iikiktbu令0321ttt，则3,2,1,0,10,0,0kuk，所以0,,032132133213213tttttttttjE（2）设321123213312uuuubububN，则3213213213,,,,tttNtttttt随机过程习题第6章6-421333123321333123312321233122321222132312221133112321111231312123131222213332122231133221132132222uubuubuubbbbbtNuubuubuubbbbbtNuubuubuubbbbbtNbbbbbbbbbbbbtttN2313123322110132321223132123213212321321303213213023222132164,,,,,,,,,,,,321321321bbbbbbtNttttttNttttttNtttttttttttNttttttNttttttttttttttt231312332211023222132162322214,,63216bbbbbbjttttttjEttt(3)2121122221222121122122112221121222112121122122221214,2,,ttuubuubuuubbuububbbbttuubtttttt3131132321332131132133113231121333113131133122321314,2,,ttuubuubuuubbuububbbbttuubtttttt3232232322332232232233223232222333223232233222322324,2,,ttuubuubuuubbuububbbbttuubtttttt21222110222121422212,21bbbttttEtt21333110232131423212,31bbbttttEtt22333220232232423222,32bbbttttEtt随机过程习题第6章6-522321321222313126232221423222321222122322212232222212224bbbbbbEEEEEEEE另一种方法是利用6.7设有三维正态分布的随机矢量T=[1,2,3]的概率密度为f(x1,x2,x3)=C)}422(21exp{2321222121xxxxxxx(1)证明经过线性变换=A=100721021411321得矢量T=[321,,]，则321,,是相互统计独立的随机变量。(2)求C值。解：2331222121422xxxxxxx=[x1,x2,x3]401015.015.02[x1,x2,x3]TB1=401015.015.02,B=75.15.015.07212461,B=61(1)321241113722233E[21]=E[23713221321412241317221]=0同样可得：E[31]=0，E[32]=0所以321,,是相互统计独立的随机变量(2)C=212)2(1Bn=2133)61()2(1=61随机过程习题第6章6-66.11设有零均值平稳实高斯随机过程)(t，其功率谱密度为其它频率范围）(0)()(2{)(0fffPSfS如果对该过程每隔f21秒作一次抽样，得到样本值),0(),22(),21(ff（1）写出前面n个样本点)(t所取值))21(),0((fn的n维联合概率密度。（2）定义随机变量10)2(1nknfkn求概率}{aPPn的表示式，为常数，0。解：（1）首先由功率谱密度求出自相关函数，参见P345，图5-5结论。ffPfffSR2)2sin()2sin()(0)(t是零均值的、平稳实高斯过程均值向量=0，协方差阵1,1,0,)],2()2(cov[,)(nkifkfibbBiknnik其中由功率谱密度的表达式，我们可以看到，该信号最大频率分量为f，而对该过程的采样频率取为2f，这样所得样本值),0(),22(),21(ff为相互统计独立随机过程习题第6章6-7的随机变量，其协方差阵B为对角阵，PRbii)0(，即PPPB所求的n元正态分布的联合概率密度为)}()(21exp{)2(1),,,(121221][XBXBxxxfnn=}21exp{)2(112212niinPxP（2）记10)2(1nknfkn=a，其中]111[nnna。根据线性变换前后的关系，得100)]2([1nknfkEnE，22nPBaa所以，}2exp{2)(222PnxPnxfdxxfdxxfPPPPn)()(}{=6.12.设有图题6-12所示的接收机。图题6-12接收机的输入有两种可能：Tdt0)()()()()(tntntst)(t)(ts比较器门限电平或随机过程习题第6章6-8①存在信号和噪声，)()()(tntst②仅有噪声存在（信号不存在），)()(tnt)(ts代表信号，它是一确定性信号，在(0,T)内它具有能量dttsETs02)(。)(tn代表噪声，它是零均值白高斯随机过程，)(2)}()({0utNuntnE接收机的输出为，把和门限相比较，试求①P{|信号存在时}，这就是发现概率；，②P{|信号不存在时}，这就是虚警概率。解：噪声在所有频率上的功率谱密度都是常数N0/2，由于信号)(ts是确知的，所以dttstnTyT0)()()(仍是一个高斯分布的噪声，其均值为0，方差是2)(][][002NEdttsnDyDsT分布函数为：ssENyENyp020exp221)(当有信号时，输出)(TyEs仍是一个高斯分布的变量，只是均值为Es发现概率dyENEyENPsssd020exp221dyENEyENsss020exp221当无信号时，输出)(Ty虚警概率dyENyENPssfa020exp221随机过程习题第6章6-96.13设有图6-13所示的非线性系统，它的输出、输入关系如图中所示。图题6-13如果输入为零均值平稳实高斯过程，其协方差函数为PeC)(求：（1）输出均值][E；（2）输出的方差][D；（3）设2])[(][EDu，画出u对)(T的关系曲线。解：(1)输出均值为ttETETd)(1][02由于)(t是零均值的，所以PCRtE)0()0()(2于是PdtPTET01][(2)输出的方差为22222][][][]])[[(][PEEEEED其中，TTTTTTvuvuRTvuvuETvuvuTEE0020020022dd,1dd)()(1dd)()(1][平方律器件2xyTdtxTz021积分（平均）TydtTz01yx)(t)(t随机过程习题第6章6-10且22222222)]([2)]0([)()(,ePPRRvuEvuR其中，v