2013年沈阳中考数学真题卷含答案解析

2013年沈阳市中等学校招生统一考试数学试题（含答案全解全析）(满分:150分时间:120分钟)参考公式:抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎),对称轴是直线x=-𝑏2𝑎.第Ⅰ卷(选择题,共24分)一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题3分,共24分)1.2013年第一季度,沈阳市公共财政预算收入完成196亿元(数据来源:4月16日《沈阳日报》),将196亿用科学记数法表示为()A.1.96×108B.19.6×108C.1.96×1010D.19.6×10102.下图是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是()A.圆柱体B.三棱锥C.球体D.圆锥体3.下面的计算一定正确的是()A.b3+b3=2b6B.(-3pq)2=-9p2q2C.5y3·3y5=15y8D.b9÷b3=b34.如果m=√7-1,那么m的取值范围是()A.0m1B.1m2C.2m3D.3m45.下列事件中,是不可能事件的是()A.买一张电影票,座位号是奇数B.射击运动员射击一次,命中9环C.明天会下雨D.度量三角形的内角和,结果是360°6.计算2𝑥-1+31-𝑥的结果是()A.1𝑥-1B.11-𝑥C.5𝑥-1D.51-𝑥7.在同一平面直角坐标系中,函数y=x-1与函数y=1𝑥的图象可能是()8.如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,则DE的长等于()A.203B.154C.163D.174第Ⅱ卷(非选择题,共126分)二、填空题(每小题4分,共32分)9.分解因式:3a2+6a+3=.10.一组数据2,4,x,-1的平均数为3,则x的值是.11.在平面直角坐标系中,点M(-3,2)关于原点的对称点的坐标是.12.若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.13.如果x=1时,代数式2ax3+3bx+4的值是5,那么x=-1时,代数式2ax3+3bx+4的值是.14.如图,点A、B、C、D都在☉O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则☉O的直径的长是.15.有一组等式:12+22+22=32,22+32+62=72,32+42+122=132,42+52+202=212……请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第8个等式为.16.已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的最小距离和最大距离分别是.三、解答题(第17、18小题各8分,第19小题10分,共26分)17.计算:(12)-2-6sin30°+(-2)0+|2-√8|.18.一家食品公司将一种新研发的食品免费送给一些人品尝,并让每个人按A(不喜欢)、B(一般)、C(比较喜欢)、D(非常喜欢)四个等级对该食品进行评价,图①和图②是该公司采集数据后,绘制的两幅不完整的统计图.图①图②请你根据以上统计图提供的信息,回答下列问题:(1)本次调查的人数为人;(2)图①中,a=,C等级所占的圆心角的度数为度;(3)请补全条形统计图.19.如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连结CF.(1)求证:BF=2AE;(2)若CD=√2,求AD的长.四、(每小题10分,共20分)20.在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有一个实数,分别为3,√2,√2+6.(卡片除了实数不同外,其余均相同)(1)从盒子中随机抽取一张卡片,请直接．．写出卡片上的实数是3的概率;(2)先从盒子中随机抽取一张卡片,将卡片上的实数作为被减数;卡片不放回,再随机抽取一张卡片,将卡片上的实数作为减数.请你用列表法或树状图(树形图)法,求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率.21.身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝,风筝不小心挂在了树上.在如图所示的平面图形中,矩形CDEF代表建筑物,兵兵位于建筑物前点B处,风筝挂在建筑物上方的树枝点G处(点G在FE的延长线上).经测量,兵兵与建筑物的距离BC=5米,建筑物底部宽FC=7米,风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上,点A距地面的高度AB=1.4米,风筝线与水平线夹角为37°.(1)求风筝距地面的高度GF;(2)在建筑物后面有长5米的梯子MN,梯脚M在距墙3米处固定摆放,通过计算说明:若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)五、(本题10分)22.如图,OC平分∠MON,点A在射线OC上,以点A为圆心,半径为2的☉A与OM相切于点B,连结BA并延长交☉A于点D,交ON于点E.(1)求证:ON是☉A的切线;(2)若∠MON=60°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)六、(本题12分)23.某市对火车站进行了大规模的改建,改建后的火车站除原有的普通售票窗口外,新增了自动打印车票的无人售票窗口.某日,从早8点开始到上午11点,每个普通售票窗口售出的车票数y1(张)与售票时间x(小时)的正比例函数关系满足图①中的图象,每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售票时间x(小时)的函数关系满足图②中的图象.(1)图②中图象的前半段(含端点)是以原点为顶点的抛物线的一部分,根据图中所给数据确定抛物线的表达式为,其中自变量x的取值范围是;(2)若当天共开放5个无人售票窗口,截至上午9点,两种窗口共售出的车票数不少于1450张,则至少需要开放多少个普通售票窗口?(3)上午10点时,每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同,试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式.图①图②七、(本题12分)24.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.图①应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.图②(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;(2)连结OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连结CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A'CD,若△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的14,请直接．．写出△ABC的面积.八、(本题14分)25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=8√25x2+bx+c经过点A(32,0)和点B(1,2√2),与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,交抛物线对称轴于点E,连结AE.①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;②点F是OB的中点,点M是直线BD上的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=13∠MFO时,请直接．．写出线段BM的长.答案全解全析：1.C196亿=19600000000,将其写成科学记数法为a×10n的形式,其中a=1.96,n=11-1=10,所以表示为1.96×1010,故选C.2.A由几何体的三视图的特征可以判断此几何体为圆柱体,故选A.3.C因为b3+b3=2b3,(-3pq)2=9p2q2,b9÷b3=b6,所以选项A、B、D错误,故选C.4.B因为2√73,所以2-1√7-13-1,1√7-12,即1m2,故选B.5.D选项A、B、C均为随机事件,三角形的内角和为180°,所以选项D为不可能事件.故选D.6.B2𝑥-1+31-𝑥=2𝑥-1-3𝑥-1=-1𝑥-1=11-𝑥.故选B.7.C函数y=x-1的图象经过第一、三、四象限,y=1𝑥的图象经过第一、三象限,选项C符合,故选C.8.B因为∠ADC=∠BDE,∠C=∠E,所以△ADC∽△BDE,因BC=8,BD∶DC=5∶3,所以BD=5,DC=3,又𝐴𝐷𝐵𝐷=𝐶𝐷𝐷𝐸,所以DE=154,故选B.评析本题考查三角形相似的判定和相似三角形的性质,属基础题.9.答案3(a+1)2解析原式=3(a2+2a+1)=3(a+1)2.10.答案7解析由2+4+𝑥-14=3,得x=7.11.答案(3,-2)解析在平面直角坐标系中,点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y),所以点M(-3,2)关于原点的对称点的坐标为(3,-2).12.答案a4解析当Δ=42-4a0,即a4时,原方程有两个不相等的实数根.13.答案3解析当x=1时,有2a+3b+4=5,即2a+3b=1.当x=-1时,原式=-2a-3b+4=-(2a+3b)+4=-1+4=3.14.答案√13解析圆内接四边形ABCD对角互补,则∠D=90°,连结AC,所以AC为☉O的直径,AC=√𝐴𝐷2+C𝐷2=√13.15.答案82+92+722=732解析由题中所给四个式子得出规律为n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2,所以82+92+722=732.16.答案1,7解析如图1,当P点在△ABC内部时,作PD⊥AC,PF⊥AB,PE⊥BC,则PD=2,PF=1,PE为点P到BC的最小距离,连结PA、PB、PC,设△ABC的高为h,边长为a,则S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC,即12ah=12a·PF+12a·PE+12a·PD,∴4=1+2+PE,PE=1.图1如图2,当P点在△ABC外部时,P到BC的距离最大,同理得S△PBC=S△ABC+S△PAB+S△PAC,即12a·PE=12ah+12a·PF+12a·PD,图2∴PE=4+1+2,∴PE=7,∴P到BC的最小距离和最大距离分别为1,7.评析本题是平面内任意一点到等边三角形三边距离的问题,可充分利用三边相等这一关键因素构造出等底不等高的三角形,运用三角形的面积和、差求解,属难题.三、解答题17.解析原式=22-6×12+1+2√2-2=2√2.18.解析(1)200.(2)a=35.(3)19.解析(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.∴∠CAD=∠CBE.又∵∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF,∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.(2)∵ADC≌△BDF,∴DF=CD=√2.在Rt△CDF中,CF=√𝐷𝐹2+C𝐷2=2,∵BE⊥AC,AE=EC,∴AF=FC=2.∴AD=AF+DF=2+√2.20.解析(1)13.(2)画树状(形)图得:或列表得:第二次第一次3√2√2+63(3,√2)(3,√2+6)√2(√2,3)(√2,√2+6)√2+6(√2+6,3)(√2+6,√2)由树状(形)图(或表格)可知,共有6种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的结果有2种,分别为(√2,√2+6)和(√2+6,√2),因此,两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为26=13.21.解析(1)过点A作AP⊥GF于点P,由题意得AP=BF=12米,AB=PF=1.4米,∠GAP=37°.在Rt△PAG中,tan∠PAG=𝐺𝑃𝐴𝑃,∴GP=AP·tan37°≈12×0.75=9(米).∴GF=GP+PF=9+1.4=10.4(米).答:风筝距地面的高度约为10.4米.(2)由题意可知MN=5米,MF=3米.∴在Rt△MNF中,NF=