数理统计凌能祥课后答案

第1章抽样分布第2章参数估计课后习题1.设总体~(,)XBnp，试用来自总体X的样本12(,,,)nXXX求n与p的矩估计量。解：由pEXXn==，2n(1)DXSpp==−得，222n,XXSpXSS−==−2.设总体X服从几何分布，其分布列为1()(1)(1,2,)kPXkppk−==−=试用来自X的样本12(,,,)nXXX求p的矩估计量和最大似然估计量。解：(1)求矩估计量：由1pEXX==得，1pX=(2)求最大似然估计量：设样本12(,,,)nXXX的观察值为12(,,,)nkkk，则似然函数为1(1)(;)(1)niiknLkppp=−∑=−，1ln(;)lnln(1)(1)niiLkpnppk==+−−∑，1ln(;)1(1)1niidkpnkdppp==−−−∑，令ln(;)0dkpdp=得，11niinpXk===∑.3.设12(,,,)NXXX为独立同分布样本，X1服从泊松分布()(0)Pλλ。若仅观察到12(,,,)NXXX中前n个样本12,,,nXXX的值，以及后面N-n个样本的和1NiinXT=+=∑，求λ的极大似然估计。解：依照题意，得{}!ixλiiλePXxx−==，似然函数为1(;)!ixNNλiiλLxλex−==∏，111ln(;)(lnln)lnlnNNNiiiiiiiLxλNλxλxNλλxx====−+−=−+−∑∑∑1111xxxx(;)NnNniiiiiiiniTdLxλNNNdλλλλ===+=++=−+=−+=−+∑∑∑∑，令(;)0dLxλdλ=，得1=niixTλN=+∑4.设总体X的分布密度函数为(1),01(;)0,其他θθxxfxθ+=其中θ-1。来自X的样本为12(,,,)nXXX：(1)求未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量；(2)当样本值为(0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7)时，求θ的矩估计量。解：(1)求矩估计量：11210011(;)(1)22θθθθEXXxfxθθxdxxθθ∞++−∞++===+==++∫∫，解得，12=1XθX−−。求最大似然估计量：似然函数为11(1)01(,)(;)0,nnθniiiiiθxxLxθfxθ==+==∏∏其他当01ix，1ln(;)ln(1)lnniiLxθnθθx==++∑，1ln(;)ln1niidLxθnxdθθ==++∑，令ln(;)0dLxθdθ=，得11=11lnln()nniiiinnθxx==−−=−−∑∏(2)当样本值为(0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7)时，17=30X，θ的矩估计量为124==113XθX−−−5.设总体X服从负指数分布，其分布密度为：1,0,0(;)0,0xθexθfxθθx−≥=试用来自X的样本12(,,,)nXXX求θ的矩估计量和最大似然估计量。解：求矩估计量：000(;)()()0xxxxθθθθxxxEXXxfxθdxedxdθexeθedθθθθ+∞+∞+∞+∞−−−−−∞+∞====−=−+=∫∫∫∫，解得=θX。求最大似然估计量：当0x≥时，似然函数为101(;)(;)niixnθiniLxθfxθeθ=−=∑==∏，1ln(;)lnniixLxθnθθ==−−∑，12ln(;)niixdLxθndθθθ==−+∑，令ln(;)0dLxθdθ=，得1=niixθXn==∑6.试证样本均值X是第4题中的有效估计量。证明：ln(;)ln(1)lnfxθθθx=++，ln(;)1ln1fxθxθθ∂=+∂+，22222222322ln(;)112ln()(ln)=(ln)1(1)112ln()(ln)()(1)112lnln(;)(;)(1)161012()21fxθxIθEExExθθθθxEExEθθxxfxθdxfxθdxθθθθθθθ+∞+∞−∞−∞∂==+++∂+++=++++=+++++++=−−+∫∫此处是根据结论猜的，没有直接算(注意，上面这里最后一步没有算，直接猜的，不知道对不对)，所以232121()(61012)θθnIθnθθθ−−+=+++，又11210011(;)(1)22θθθθEXxfxθθxdxxθθ∞++−∞++==+==++∫∫1222310011(;)(1)33θθθθEXxfxθθxdxxθθ∞++−∞++==+==++∫∫22222232(1)(2)(1)(3)21=()(2)(3)61012θθθθθθDXEXEXθθθθθ++−++−−+−==+++++23221=(61012)DXθθDXnnθθθ−−+=+++,因此，23221(61012)θθDpDXnθθθ−−+==+++所以，1()DpnIθ=,即达到了p方差的下界，所以样本均值X是第4题中的有效估计量。7.已知总体,01~(,)1,120,其他θxXfxθθx=−≤其中参数θ(0θ1)未知，12(,,,)nXXX为样本，N是观测值12(,,,)nxxx中小于1的个数，求：(1)θ的矩估计量；(2)θ的最大似然估计量。解：(1)求矩估计量：12013(;)()2EXXxfxθdxθxdxxθxdxθ+∞−∞===+−=−∫∫∫，解得，3=2θX−(2)求最大似然估计量：似然函数为，1(;)(;)(1)nNnNiLxθfxθθθ−===−∏,ln(;)ln()ln(1)LxθNθnNθ=+−−，ln(;)1dLxθNnNdθθθ−=−−，令ln(;)0dLxθdθ=，得=Nθn8.已知总体X的分布密度为：(1)2222,0,0,()0,0;xθxexθfxθθ−=≤(2)(),,()0,;xexfxx−−≥=≤θθθ(3),,0,()0,;1xexfxx−−≥=αββαβα(4)1()(00);且ααfxβαxIxβα−−=≤≤求分布中未知参数的极大似然估计量。解：(1)似然函数为：221121(2)(;)(;)niinnxθnixLxθfxθeθ=−=∑==∏，2211ln(;)ln(2)2lnniiLxθnxnθxθ==−−∑,2132ln(;)2niixdLxθndθθθ==−+∑,令ln(;)0dLxθdθ=，得221=niixθxn==∑.(2)似然函数为11(;)(;)niinnθxiLxθfxθe=−=∑==∏，1ln(;)niiLxθnθx==−∑，ln(;)0dLxθndθ=，所以，(;)Lxθ是θ的单调递增函数，又需要满足不等式ixθ≥所以，θ的最大似然估计为{}=min(1)iθxin≤≤。(3)似然函数为111(;,)(;,)niixnαnββniLxαβfxαβeβ=−=∑==∏，1ln(;,)lnniixnαLxαβnβββ==−+−∑，○1求α最大似然估计：因为ln(;,)0Lxαβnαβ∂=∂，所以(;,)Lxαβ是α的单调递增函数，又需要满足不等式iαx≤，所以{}=min(1)iαxin≤≤。○2求β最大似然估计：122ln(;,)niixLxαβnnαββββ=∂=−−+∂∑，令ln(;,)0Lxαββ∂=∂，得{}11==minniiiinxβαxαxxn=≤≤−=−−∑(4)似然函数为11ln(;,)()nnαnnαiiLxαββαIx−−==∏，1ln(;,)lnlnln(1)lnniiLxαβnαβnαnIαx==−+++−∑，○1求β最大似然估计：ln(;,)0Lxαβnαββ∂=−∂，所以(;,)Lxαβ是β的单调递减函数，又需要满足不等式iβx≥，所以β的极大似然估计为{}1=maxiinβx≤≤○2求α最大似然估计：1ln(;,)lnlnniiLxαβnnβxαα=∂=−++∂∑，令ln(;,)0Lxαβα∂=∂，得{}11111=lnlnlnlnlnmaxlnniiinαβxxiβnxx=≤≤==−−−∑12.设总体(~)XPλ，其中参数0λ,1X是总体的一个样本，证明：()()112XTX=−是待估参数()3λgλe−=的无偏估计。证明：因为~p()Xλ，所以{}!kλλpXkek−==，所以1100(2)[()][(2)][(2)]=!!kkXkλλkkλλETXEeekk+∞+∞−−==−=−=−∑∑由23011!2!3!!!nkxkxxxxxenk+∞==+++++=∑，得20(2)!kλkλek+∞−=−=∑，所以231[()]()λλλETXeeegλ−−−===，所以1()TX是()gλ的无偏估计。14.设12(,,,)NXXX是来自均值为μ0为已知的正态总体N(μ0,σ2)的一个样本，试用最大似然估计法求方差σ2的估计量2σ，并验证它是否为有效估计。解：求方差σ2的最大似然估计：因为正态总体的密度函数为202()221(;)2xμσfxσeπσ−−=，所以，似然函数为20211()22211(;)(;)(2)niinxμσniLxσfxσeπσ=−−=∑==∏，220211ln(;)()ln(2)2niiLxσxμnπσσ==−−−∑2201242()ln(;)22niixμdxσndσσσ=−=−∑，令22ln(;)0dxσdσ=，得20221()==niixμσSn=−∑.证明2σ不是方差σ2的有效估计如下（参考课本例题2.13）：2202()ln(;)ln(2)2xμfxσπσσ−=−−,220242()ln(;)122xμdfxσdσσσ−=+,所以，22222222202422222004242()ln(;)1()[][]22()()11[][]2222σσσσxμdfxσIσEEdσσσxμxμDEσσσσ−==+−−=+++因为，~(0,1)XμNσ−所以，22()~(1)Xμχσ−，所以222()[(1)]1σXμEEχσ−==，222()[(1)]2σXμDDχσ−==.又212σ是常数，所以2211()22Eσσ=，21()02Dσ=所以，222222200424220222()()11[]=[]()2222()11[]()220σσσσσxμxμEEEσσσσxμEEσσσ−−−−−=−=22222222004242220222220224()()11[]=[]()2222()11=()[]()22()1()[]212σσσσσσxμxμDDDσσσσxμDDσσσxμDσσσ−−−+−+−==所以，221()2Iσσ=，参数2σ的无偏估计量的方差下界是4212()σnIσn=因为222(1)~(1)nSχnσ−−，所以222(1)=[(1)]2(1)nSDDχnnσ−−=−，由222222(1)1=()()2(1)σnSnDDSnσσ−−=−，得24222()()1σσDSIσn=−，所以20221()==niixμσSn=−∑不是2σ的有效估计。16.12(,,,)nXXX为来自总体X的样本，10(1,2,,)1niiiαinα===∑且满足，试证：(1)1()是niiiaXEX=∑的无偏估计；(2)在E(X)的形如1niiiaX=∑的线性无偏估计类中，11=niiXXn=∑方差最小，即X是E(X)的最小方差线性无偏估计。解：(1)证明：由于()()iEXEXμ==，()()iDXDXμ==，所以111()()nnniiiiiiiEaXλαλαλEX=======∑∑∑，所以1()是niiiaXEX=∑的无偏估计。(2)证明：(知识点盲区，暂且先不证了吧)17.设参数θ的无偏估计量为θ，其方差()Dθ依赖于样本容量n。若lim()0nDθ→∞=，试证θ是θ的相合估计量。18.设总体2~(,)XNμσ，σ2未知。若已知n=36，x=15.2，2S=68.4，试求μ的置信区间(置信系数为0.95)。解：这里置信系数为1=0.95α−，显著水