概率论与数理统计期末试卷A(参考答案)2011.6

1华东师范大学期末试卷(A)答案2010----2011学年第二学期课程名称:概率论与数理统计课程性质：专业必修一判断题(每小题2分共20分)1.如果P(A)=0，则A=.(F)2.A、B、C三个事件独立当且仅当其中任意两个事件独立。(F)3.如果在1次试验中事件A发生的概率为0.9，则在2次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为0.99。(T)4.如果X服从),(2N，则Y=(-X)/服从(0,1)N。(T)5.如果(X,Y)服从二维均匀分布，则X服从一维均匀分布。(F)6.两个正态随机变量,若不相关,则独立。(F)7.设1和2为的两个估计，且12()()VarVar，则1比2更有效。(F)8.枢轴量一定不是统计量。(T)9.矩估计量是无偏估计量。(F)10.假设检验中控制取伪概率的数称为显著性水平。(F)二选择题(每小题2分共10分)11.若5.0)(AP,,3.0)(BP2.0)(CP,0)(CBP,2.0)(ABP,1.0)(ACP则)(CBAPA(A)0.6;(B)1;(C)0.7;(D)0.8.12.若X服从参数为的泊松分布，且22)2(eXP，那么])2[(2XE=B(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.13.若X的可能取值为0,1，Y的可能取值为0,1,2，且5.0)0()0(YPXP,25.0)0,1(YXP,25.0)1,0(YXP,1.0)2,1(YXP,则下述正确的是B(A)YX,独立;(B)15.0)1,1(YXP;(C)2.0)2(YP;(D)XY.14.设随机变量)(~ntX，)1(n，2/1XY，则C(A))(~2nY;(B))1(~2nY;(C))1,(~nFY;(D)),1(~nFY.215.设nXXX,,,21为总体X的简单随机样本，2表示总体方差，X为样本均值,niiXXnSn122)(1，以下叙述错误的是D(A)2nS是2的矩估计;(B)2nS是2的相合估计;(C)X是E(X)的无偏估计;(D)2nS与X独立.三填空题(每空3分，共15分)16.若随机变量2,01~()0,kxxXpx其他,则)(XVar80/317.301(,)~(,)0xyxXYpxy其他,则~()YYpy其他,010),1(5.12yy18.二维随机变量(,)~(0,0,1,4,0.5)XYN,1YXZ,则),(ZXCov019.总体)1,(~NX，1121,,,XXX为总体的简单随机样本，X为样本均值，由切比晓夫不等式)20)((1112iiXXP0.220.单正态总体),(2N,2,随机取100个样本,测得样本均值为4,此时置信水平为0.95的双侧置信区间为[3.61，4.39].(小数点后保留2位有效数字)四计算题（共55分）21.(10分)A盒装3红球和3白球，B盒装3白球。从A中随机地取三个球放入B中，再从B中任取出一球，发现是白球。问此时A中全为红球的概率。解：以A,0,1,2,3.kCkk从中取出的三个球中有个白球DB换完球后中取出一个是白球.所求概率为)()()|()()()|(3333DPCPCDPDPDCPDCPp由古典概率计算可知：201)(3633030CCCCP，209)(3623131CCCCP，3209)(3623132CCCCP，201)(3633033CCCCP。以及,2/1)|(0CDP,3/2)|(1CDP,6/5)|(2CDP.1)|(3CDP由全概率公式得434024015206401)(DP因此.1514/320/1p22.(10分)),(YX的联合分布函数其他,0,0,0,1),(yxeeeyxFyxyx求YXZ的密度函数()Zpz.解：由其他,0,0,0,1),(yxeeeyxFyxyx可知X，Y的边际分布函数分别为,0001)(xxexFxX,0001)(yyeyFyY且)()(),(yFxFyxFYX。因此YX,独立，且密度函数分别为0~()00xXexXpxx，0~()00yYeyYpyy由卷积公式可知YXZ的密度函数()()()ZXYpzpxpzxdx当0z时()0Zpz，当0z时0().zxzxzZpzeedxze23.(10分)调查某产品的次品率时可以用频率近似，任取n个该产品检测。问n至4少多大才能保证次品出现频率与次品率的误差小于3%的概率不小于95%。解：以p表示次品率，X表示测得次品数，则),(~pnbX。题设要求95.0)03.0|(|pnXP即025.0))1(03.0)1((ppnpnpnpXP由中心极限定理可知96.1)1(03.0975.0uppn因此9/)1(1962ppn。由25.0)1(pp可得1.10679/982n即至少要抽取1068个。24.(10分)总体20~(,)0xxexXpx其他,nXX,,1为其简单随机样本,求的极大似然估计。解：设样本观察值为nxxx,,,21，构造似然函数如下niixnnnexxxxxL12121),,,(，0,1,2,,ixin因此niiniinxxnxxL111lnln2),,,(ln。求解似然方程021niixn得niixn1/2。因此的极大似然估计量为.2ˆXMLE525.(15分)某产品寿命可看作正态分布,长期以来平均寿命为100(单位:小时),标准差为10.现对其生产工艺进行升级,以提高平均寿命和减少波动.任取新工艺生产的产品9件,测得样本平均寿命为110,样本标准差为6.在显著水平05.0要求下,问(1)寿命是否延长?(2)标准差是否降低?解：先考虑均值是否显著增加。建立原假设和备择假设如下：;100)(:0H.100:1H方差未知，选择)1(~/100ntnSXt做检验统计量。由于9n，显著水平05.0的拒绝域为}8595.1)8(:{95.0tttW.将SX,的观察值110和6代入检验统计量，得Wt5630.因此拒绝原假设，接受备择假设。即在显著性水平0.05条件下认为均值提高。再考虑标准差是否显著降低。建立原假设和备择假设如下：;10)(:0H.10:1H选择)1(~100)1(222nSn作为检验统计量。由于9n，显著水平05.0的拒绝域为}73.2)8(:{05.0222W.将S观察值6代入检验统计量得W88.22因此接受原假设，即在显著水平0.05条件下不能确认方差降低。