机械振动-课后习题和答案--第二章-习题和答案

2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解：设物体质量为m，弹簧刚度为k，则：mgk，即：//nkmg取系统静平衡位置为原点0x，系统运动方程为：00020mxkxxx（参考教材P14）解得：()2cosnxtt2.2弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m所以：9.87(/)0.2ngrads取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20nxx其中，初始条件：(0)0.2(0)0xx（参考教材P14）所以系统的响应为：()0.2cos()nxttm弹簧力为：()()cos()knmgFkxtxttN因此：振幅为0.2m、周期为2()7s、弹簧力最大值为1N。2.3重物1m悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m从高度为h处自由落到1m上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。解：取系统的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x，则当m有x位移时，系统有：2121()2TEmmx212Ukx由()0TdEU可知：12()0mmxkx即：12/()nkmm系统的初始条件为：2020122mgxkmxghmm（能量守恒得：221201()2mghmmx）因此系统的响应为：01()cossinnnxtAtAt其中:200021122nmgAxkxmgghkAkmm即：2122()(cossin)nnmgghkxtttkmm2.4一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图所示，求系统的固有频率。解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0，则当m有转角时，系统有：2222111()()222TEImrImr21()2Ukr由()0TdEU可知：22()0Imrkr即：22/()nkrImr（rad/s）2.5均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。2.6求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且21312,kkkk。解：取m的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x，则当m有x位移时，系统有：212TEmx22211115226Ukxkxkx（其中：1212kkkkk）由()0TdEU可知：1503mxkx即：153nkm（rad/s），1325mTk（s）2.7如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。解：设物体重量W，摆角坐标如图所示，逆时针为正，当系统有摆角时，则：2()(1cos)()2UWRrWRr设为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：()cRrr，即：()Rrr记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为AI，则：22212AC222221133()()()2224TAWRrWEIrRrgrg（或者理解为：22211()22TcWEIRrg，转动和平动的动能）由()0TdEU可知：23()()02WRrWRrg即：23()ngRr（rad/s）2.8横截面面积为A，质量为m的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。设从平衡位置压低距离x(见图)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。解：建立如图所示坐标系，系统平衡时0x，由牛顿第二定律得：()0mxAxg，即：nAgm有初始条件为：000xxx所以浮子的响应为：()sin()2Agxtxtm2.9求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上)，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m1，m2。解：两轮的质量分别为12,mm，因此轮的半径比为：1122rmrm由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：121212rr取系统静平衡时10，则有：222222111222121111111()()()22224TEmrmrmmr2221112221211111()()()()222Ukrkrkkr由()0TdEU可知：222121112111()()02mmrkkr即：12122()nkkmm（rad/s），121222()mmTkk（s）2.10如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与a均已知，求微振动的周期。解：取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡时0，则当轮子有转角时，系统有：2222111()()222TPPEIRIRgg21()2Uka由()0TdEU可知：222()0PIRkag即：22nkaPIRg（rad/s），故2222nPIRgTka（s）2.11弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为T，如果在m上附加一个质量m1，则弹簧的静伸长增加l，求当地的重力加速度。解：224mTkmkT12114mgklklmlgmTm2.12用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P，(b)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。解：取系统的摆角为坐标，静平衡时0（a）若不计杆重，系统作微振动，则有：221()2TPELg21(1cos)2UPgLPgL由()0TdEU可知：20PLPLg即：ngL（rad/s）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：2222221111()()()22323LTLPPmELmLLgg2(1cos)(1cos)()222LLLPmUPgLmggLg由()0TdEU可知：2()()032LLPmPmLgLgg即：()2()3LnLPmggPmLg（rad/s）（b）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：2222221111()()()22323LTLPPmELmLLgg221()()()222222LPmkLUgLg即：()24()3LnLPmkLggPmLg（rad/s）（c）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：2222221111()()()22323LTLPPmELmLLgg221()()()222222LPmkLUgLg即：()42()3LnLkLPmggPmLg（rad/s）2.13求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式。答案：系统的运动微分方程2220abmxkxa2.14一台电机重470N，转速为1430r／min，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图所示。每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度EI＝1.66105N·m2。(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。2.15一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为的弹性梁的一端，如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。wL3/(3EI)2.16求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L。解：假设U形管内液柱长l，截面积为A，密度为，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降x时，有：212TEAlxUAxgx由()0TdEU可知：20AlxgAx即：2ngl（rad/s），2lTg（s）2．17水箱l与2的水平截面面积分别为A1、A2，底部用截面为A0的细管连接。求液面上下振动的固有频率。解：设液体密度为，取系统静平衡时势能为0，当左边液面下降1x时，右边液面上升2x，液体在水箱l与2和细管中的速度分别为123,,xxx，则有：22211133222111[()][][()]222TEAhxxALxAhxx22211132132[()()]2AAAhALAhxAA（由于：1;hxh2;hxh112233;AxAxAx1122AxAx）1212xxUAxg由()0TdEU可知：11111232[(1)()](1)0AAAhLxgxAAA即：121123(1)(1)()nAgAAAhLAA（rad/s）2.18如图所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明：2222212TTTgATW并指出的意义(式中液体阻尼力Fd=•2Av)。2.19试证明：对数衰减率也可用下式表示nxxn0ln1，(式中xn是经过n个循环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。解：设系统阻尼自由振动的响应为()xt；0t时刻的位移为0x；0nttnT时刻的位移为nx；则：0000()0cos()cos[()]nndndtnTdtnTnddxXetexXetnT所以有：001lnlnndnxxnTnnxx，即：nxxn0ln1当振幅衰减到50%时，00.5nxx，即：211ln2ln22n1)当0.01时，11n；要11个循环；2)当0.1时，1.1n；要2个循环；3)当0.3时，0.34n；要1个循环；2.20某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg，前悬架刚度为k1=1.02105N／m，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比0.25，那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器?2.21重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长，在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动，求此后的运动规律。解：设系统上下运动为x坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动微分方程为：0PPxcxxg系统的阻尼比：22ccmkPPg系统不振动条件为：1，即：2/cPg物体在平衡位置以初速度0开始运动，即初始条件为：0000xx此时系统的响应为：（可参考教材P22）1)当1时：221112()()nnntttxteAeAe其中：01,22121nnAg2)当1时：12()nnttxtAeAte，其中：1200AA即：0()ntxtte3)当1时：12()(cossin)ntddxteCtCt其中：12020/1ddnCC，即：0()sinntddxtet2.22一个重5500N的炮管具有刚度为3.03105N／m的驻退弹簧。如果发射时炮管后座1.2m，试求：①炮管初始后座速度；②减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的)；③炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。