第11-12讲-非均匀有理B样条曲线与曲面

11/17第十一讲：非均匀有理第十一讲：非均匀有理BB样条曲线和样条曲线和曲面曲面20020088年年44月月CAD/CAMCAD/CAM技术基础技术基础2/17上课内容上课内容一、NURBS曲线、曲面的定义二、NURBS曲线的几何性质三、NURBS曲线形状的修改四、圆锥曲线、圆弧及圆的NURBS表示五、一些常用曲面的NURBS表示23/17(1)NURBS方法提出的首要理由：为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法相统一的又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。00引言引言(2)非均匀B样条方法－－采用参数整多项式NURBS方法－－采用分子分母分别是参数多项式与多项式函数的分式表示，是有理的。以前介绍的贝齐埃方法和B样条方法都称为非有理的。4/17（3）NURBS曲线曲面的优点：00引言引言第一：可精确表示规则曲线与曲面；第二：可把规则曲面和自由曲面统一在一起，用统一的算法予以处理和统一的数据库加以存储第三：增加了权因子这个额外的自由度，有利于曲线与曲面形状的控制和修改，使设计者能更方便地实现自己的意图。第四：NURBS是非有理贝齐埃和B样条形式的真正推广，大多数非有理的著名性质和计算技术很容易推广到有理形式。35/17NURBS曲线是一向量值的分段有理多项式函数，形式如下：一、一、NURBSNURBS曲线、曲面的定义曲线、曲面的定义•Ui为节点，节点向量∑∑===nipiiniipiiuNwVuNwur0,0,)()()(GG其中，wi—权因子（权重系数）Vi—特征多边形顶点Ni,p—p次规范B样条基函数•NURBS曲线的次数p、节点数m、控制顶点数n三者满足关系式Non-UniformRationalB-Splines6/17一般情况下，节点向量具有形式:一、一、NURBSNURBS曲线、曲面的定义曲线、曲面的定义•具有上述节点向量的NURBS曲线具有贝齐埃曲线的端点性质，曲线的首末点与控制顶点的首末点相重合，而且在首末两端点处曲线与控制多边形的首末两条边相切。47/17NURBS曲面是非有理张量积B样条曲面的有理推广，定义如下：一、一、NURBSNURBS曲线、曲面的定义曲线、曲面的定义8/17NURBS曲线的等价表示：二、二、NURBSNURBS曲线的几何性质曲线的几何性质①局部性：[ui,ui+p+1]区间非零②非负性:③可微性：节点内部各阶导数存在，节点处p-k阶连续。(k为节点重数)④规范性:⑤非有理B样条基函数是有理B样条基函数的特例。59/17二次、三次有理B样条基函数的例子二、二、NURBSNURBS曲线的几何性质曲线的几何性质次数p=2顶点数n+1=4+1M=n+p+1=4+2+1节点数m+1=8次数p=3顶点数n+1=6+1M=n+p+1=6+3+1节点数m+1=1110/17NURBS曲线的几何性质二、二、NURBSNURBS曲线的几何性质曲线的几何性质①端点条件②射影不变性③凸包性④Ri,p(u)在节点处对Vi起开关控制作用。⑤r(u)在节点跨的内部无限可微，在重数为k的节点处p-k次可微。⑥无内节点的有理B样条曲线为有理的贝齐埃曲线。611/17例题:三、三、NURBSNURBS曲线形状的修改曲线形状的修改（1）NURBS曲线形状是由那些因素决定的？实际应用中，若要对NURBS曲线作局部修改，一般可采取什么办法？（2）如题图所示，由顶点V0、V1、V2、V3、V4、V5构造NURBS曲线，改变顶点V3所对应的权因子ω3得到的三条不同形状的曲线，B，N，Bi分别是ωi=0，ωi=1，ωi≠{0,1}的对应曲线上的点。1)请写出ω3与点B，N，Bi及V3四点之间的关系。2)定性分析ωi对曲线形状的影响。12/17当节点向量为U={0,0,…,1,1,…1}时，p次有理B样条基函数与p次贝齐埃曲线的基函数完全等同。四、四、圆锥曲线、圆弧及圆的圆锥曲线、圆弧及圆的NURBSNURBS表示表示对于NURBS曲线若取n=2,U={0,0,0,1,1,1},则二次NURBS曲线退化为：圆锥曲线的方程CSF=ω12/ω0ω2,CSF=1,抛物线CSF1,双曲线CSF1,椭圆713/17四、四、圆锥曲线、圆弧及圆的圆锥曲线、圆弧及圆的NURBSNURBS表示表示(2)圆弧的NURBS表示小于180度的圆弧：V0,V1,V2为等腰三角形，腰为V0V1,V1V2,ω0=ω2=1,ω1=cos(V1V0V2)节点向量U={0,0,0,1,1,1}z优弧、半圆可以利用重节点将两段、三段劣弧拼接组成。内部重节点的一种给法：采用二重节点（端点仍为三重）权因子的给法同小于180度的圆弧。14/17四、四、圆锥曲线、圆弧及圆的圆锥曲线、圆弧及圆的NURBSNURBS表示表示例1：两段圆弧组成的圆心角为180度的圆弧节点向量U={0,0,0,1/2,1/2,1,1,1}权因子此时圆弧的NURBS表示为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,22,1,22,1815/17四、四、圆锥曲线、圆弧及圆的圆锥曲线、圆弧及圆的NURBSNURBS表示表示例2：四段圆弧组成的圆心角为180度的圆弧节点向量U={0,0,0,¼,¼,2/4,,2/4,¾,¾1,1,1}权因子此时圆弧的NURBS表示为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,22,1,22,1,22,1,22,116/17四、四、圆锥曲线、圆弧及圆的圆锥曲线、圆弧及圆的NURBSNURBS表示表示例3：用三段圆弧，7顶点构成的外切正三角形表示整圆。节点向量U={0,0,0,1/3,1/3,2/3,2/3,1,1,1}权因子此时圆弧的NURBS表示为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,21,1,21,1,21,1917/17四、四、圆锥曲线、圆弧及圆的圆锥曲线、圆弧及圆的NURBSNURBS表示表示例4：用两段圆弧，7顶点构成的外切正三角形表示整圆。节点向量U={0,0,0,1/4,2/4,2/4,3/4,1,1,1}权因子此时圆弧的NURBS表示为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,21,21,1,21,21,118/17