2011数值分析第一次作业及参考答案

实用标准文档文案大全数值计算方法第一次作业及参考答案1.已测得函数()yfx的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton插值求二次插值多项式。解：(1)Lagrange插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2xxlxxx同理1211()(2),()(1)36lxxxlxxx故2202151()()(1)(2)(2)(1)23631iiipxylxxxxxxxxx（2）令0120,1,2xxx，则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12fxxfxx0124(2)[,,]102fxxx实际演算中可列一张差商表：ixiy一阶差商二阶差商01－15－42－1－21（3）用对角线上的数据写出插值多项式22()1(4)(0)1*(0)(1)31Pxxxxxx2.在44x上给出()xfxe的等距节点函数表，若用二次插值求xe的近似值，要使截断误差不超过610，问使用函数表的步长h应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,,1.xkxfxefxeexxhxxhxxtht考察点及实用标准文档文案大全(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!2.(4,4).633fRxxxhxxxxhtttethththeheh则43612((1)(1)333100.006.93tttehh在点处取到极大值）令得3.求2()fxx在［a,b］上的分段线性插值函数()hIx，并估计误差。解：22221111112211111()()kkkkhkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxIxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2112211()()()[()]11()()44hhkkkkkkkkRxfxIxxxxxxxxxxxxxh4.已知单调连续函数()yfx的如下数据ix－0.110.001.501.80()ifx－1.23－0.101.171.58用插值法计算x约为多少时()1.fx（小数点后至少保留4位）解：作辅助函数()()1,gxfx则问题转化为x为多少时，()0.gx此时可作新的关于()igx的函数表。由()fx单调连续知()gx也单调连续，因此可对()gx的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为1()0.110.097345(2.23)0.451565(2.23)(1.10)0.255894(2.23)(1.10)(0.17)xgyyyyyyy故1(0)1.321497.xg实用标准文档文案大全5.设函数()fx在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式3()Px，使其满足3(0)0P，3(1)1P，3'(1)3P,3(2)1P。并写出误差估计式。解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式3()Px，32357()722pxxxx2112(1)()(2);()(1)(2);();2xxxxxxxxxx由题意可设23()()()()(1)(2)Rxfxpxkxxxx为确定待定函数()kx，作辅助函数：23()()()()(1)(2)gtftptktttt则()gt在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点,0,1,2(1txt为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点(0,3)使4()0g，从而得(4)1()()4!kxf。故误差估计式为(4)21()()(1)(2)(0,3)4!Rxfxxx6.设函数()yfx在节点0,1,2,3x的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的三次样条插值函数()Sx：（1）''(0)1,(3)0ff（2）''''(0)1,(3)0ff解：（1）取ix处的一阶导数im作为参数，1,2i。由于11111,1,3([,][,])022iiiiiiiiiiiiihgfxxfxxhh以及由三转角方程112,1,2iiiiiimmmgi得012123112022112022mmmmmm由于031,0,mm从而12124140mmmm解之可得124/15,1/15mm实用标准文档文案大全故2(1)(1511)/15,[0,1]()(1)(2)(73)/15,[1,2](3)(2)/15,[2,3]xxxxSxxxxxxxx（2）取ix处的二阶导数iM作为参数，1,2i。由于111111,1,6[,,]022iiiiiiiiiihdfxxxhh以及由三弯矩方程0121112311202221,2112022iiiiiiMMMMMMdiMMM由于031,0,MM代入方程可得134/15,1/15,MM故(1)(1926)/90,[0,1]()(1)(2)(512)/90,[1,2](3)(2)(4)/90,[2,3]xxxxSxxxxxxxxx7．编程实现题：略。8、试求()sin,[0,]2fxxx最佳一次一致逼近多项式。解：因为''()sinfxx在[0,/2]内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为*1111()[(0)()]/2(/2)Pxffxaxx式中'11111(/2)(0)20.63661977()cos0.88068924/20ffaafxxx从而*1111()(sin)/2(/2)0.105256830.63661977Pxxaxxx9、给定43()1fxxx，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在[0,1]上求()fx的三次最佳一致逼近多项式。2342234(()21,()43,()881)TxxTxxxTxxx解：令4311121()()()3()1.222ttttxfxf实用标准文档文案大全设*3()Px为()fx在[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式，由于1()2tf的首项系数为412，故*3441*43423*434233211116[()()]()2221111()()()1(881)2221681()(31)[8(21)8(21)1]168511293.[0,1]44128ttfPTttttPttPxxxxxxxxx10、设100101121,,,spanxspanxx，分别在12、上求一函数，使其为2[0,1]xC的最佳平方逼近，并比较其结果。解：**01112000100121110011220100***010*1***101221221(,)11,(,),211(,),(,),3211(,)1,(,),34111123()611161234aaxdxxdxxdxfxdxfxxdxaaaxxaaaf*1(1)设因1*0(,)0.00556kkkaf实用标准文档文案大全**100*1012011110021001010001100011110121021031101000**01**01(2)()11(,)(),(,)(,),201202111(,)(),(,),(,).203103104111201202103111202203104xbxbxxdxxxdxxdxfxdxfxdxbbbb设*0*1*10010121122*422200375.24253375.14825()375.24253375.14825.11(,)[375.24253375.14825]0.16406103104kkkbbxxxfbfxdx由结果知（1）比（2）好。11、用最小二乘法求一个形如2yabx的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。ix1925313844iy19.032.349.073.397.8解：4422201000004420110010044411110044000042110()1,().(,)()15,(,)(,)()()5327,(,)()()7277699,(,)()271.4,(,)()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxyxyyyxyx因有4022201222369321.5,55327271.40.972604553277277699369321.50.05003510.97260450.0500351.(,)(,)0.016954.0.130207526.iiyabaabbyxyayby实用标准文档文案大全12、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求()sinfxx在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书）解：构造正交多项式0()1x100011000(,)1(,)21xdxxdx111()2xxx120112121101()(,)121(,)2()2xxdxxxdx12011210001()(,)12(,)121xdxdx2222120111()()()()()2126xxxxxxx于是1000(,)11dx1211011(,)()212xdx12222011(,)()6180xxdx1002(,)sinfxdx1101(,)()sin02fxxdx212230112(,)()sin63fxxxdx所以，()sinfxx在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式为0120120011222(,)(,)(,)()()()()(,)(,)(,)4.12254.12250.05047fffxxxxxx13、求()xfxe在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre正交多项式）解先计算(,)(0,1,2,3)kfPk。3504.21d),(110eexePfx；7358.02d),(1111exxePfx；实用标准文档文案大全1431.07d2123),(2112eexexPfx；.02013.05137d2325),(3113eexexxPfx；又有1752.12/),(0*0Pfa，1036.12/),(31*1Pfa3578.02/),(52*2Pfa，07046.02/),(73*3Pfa，得*2332311()1.17521.10360.3578(31)0.07046(53)220.9963