层次分析法-

1层次分析法2层次分析法(AnalyticHierarchyProcess，简称AHP)•一、层次分析法概述•二、AHP的基本原理•三、AHP的求解步骤•四、应用实例3一、层次分析法概述美国运筹学家Saaty教授于二十世纪70年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。主要特征是：合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。1982年被引入国内后迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。4二、层次分析法的基本原理层次分析法的基本思想：把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城例：城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城。。。城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城。。。城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城城。。。城城城城城城城例：7层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。层次分析法的基本方法：建立层次结构模型。建立层次模型的步骤如下:–(1)明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。–(2)将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。8三、AHP求解步骤9层次单排序求解过程构构构构构构A构A构构构构构构A构构构构构构构构构构构构构构构构构构构构构A是否10(一)判断矩阵概念：设Wi表示反映第i个方案对于某个最低层目标的优越性或某层第i个目标对于上层某一目标的重要性的权重，以每两个方案（或子目标）的相对重要性为元素的矩阵A称为判断矩阵。11判断矩阵是层次分析法的核心。111122221212................................nnnnnn12判断矩阵中各元素的确定——标度对任意两因素的相对重要性进行判断，并予以量化。1～9标度方法列表如下：标度定义(比较因素i与j)1因素i与j一样重要3因素i比j稍微重要5因素i与j较强重要7因素i与j强烈重要9因素i与j绝对重要2，4，6，8介于以上相邻两种情况之间倒数两目标反过来比较13设，则判断矩阵的元素具有三条性质：1(2);ijijaa(3);ijikkjaaaiijjWaWija满足这三条性质的判断矩阵，称为完全一致性判断矩阵。n阶完全一致性判断矩阵的最大特征根为其余特征根为0。11121321222312nnnnaaaaaaAaaa(1)1;iiamax;n14实例在城市公共交通系统中，针对“如何降低事故发生率”，可采取如下措施：P1：实行经济责任制；P2：加强职工培训(智力投资)；P3：加强交通管制(对行车安全有较大影响)；P4：发展快速电车；P5：修建人行天桥；P6：疏通瓶颈卡口；P7：合理限制自行车。如何确定上述措施对于目标的重要性次序(即权重)，从而为最终决策提供依据？15措施P1P2P3P4P5P6P7P111/31/451/71/51/7P2311/271/41/31/7P342171/31/21/5P41/51/71/711/81/61/9P57438121/3P653261/211/5P777593511，构造判断矩阵16(二)权重的确定方法设判断矩阵为：为的特征根，为特征根所对应的特征向量。A12(,,,)Tn111122221212................................nnnnnn17特征向量近似解法（1）将判断矩阵每一列归一化：1,1,2,,ijijnkjkaaijna（2）将每一列经归一化后的矩阵按行相加：11,2,,niijjMain1，和积法：18（3）将向量归一化：11,2,,iinjjMWinM（4）计算判断矩阵最大特征根max1(),niiiAWnW12(,,,)TnMMMM所求得即为所求特征向量。12(,,,)Tn其中表示向量的第个元素。()iAWAWi192，求最大特征值及特征向量(1)将判断矩阵每列归一化P1P2P3P4P5P6P7P11.0000.3330.2505.0000.1430.2000.143P23.0001.0000.5007.0000.2500.3330.143P34.0002.0001.0007.0000.3330.5000.200P40.2000.1430.1431.0000.1250.1670.111P57.0004.0003.0008.0001.0002.0000.333P65.0003.0002.0006.0000.5001.0000.200P77.0007.0005.0009.0003.0005.0001.000Sum27.20017.47611.89343.0005.3519.2002.130实例20P1P2P3P4P5P6P7SumP10.0370.0190.0210.1160.0270.0220.0670.309P20.1100.0570.0420.1630.0470.0360.0670.522P30.1470.1140.0840.1630.0620.0540.0940.719P40.0070.0080.0120.0230.0230.0180.0520.144P50.2570.2290.2520.1860.1870.2170.1561.485P60.1840.1720.1680.1400.0930.1090.0940.959P70.2570.4010.4200.2090.5610.5430.4692.861Sum1.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0007.0002，求最大特征值及特征向量(2)归一化后的矩阵按行加总(3)将列向量归一化即得特征向量WW=(0.044,0.075,0.103,0.021,0.212,0.137,0.409)T,(4)计算最大特征值λMax=7.691AW=(0.316,0.563,0.797,0.150,1.707,1.102,3.267)T,21特征向量近似解法•2，方根法：（1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根：11,2,,nniijjWain22（3）计算判断矩阵最大特征根max1(),niiiAWnW其中表示向量的第个元素。()iAWAWi（2）将向量归一化：12(,,,)Tn11,2,,iiniiWWinW所求得即为所求特征向量。12(,,,)Tn23(三)一致性检验•构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵A时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵A进行一致性检验。•通过计算一致性指标和检验系数进行检验。24•CI，度量判断矩阵偏离一致性的指标Max-nCIn1＝•CI愈大，判断矩阵的一致性愈差；•λMax-n愈大，CI愈大，矩阵的一致性愈差；•CI=0，判断矩阵具有完全一致性。25•RI，平均随机一致性指标，是足够多个根据随机发生的判断矩阵计算的一致性指标的平均值。•3—9阶矩阵的RI取值见下表：阶数3456789RI0.580.901.121.241.321.411.4526•CR，检验系数CICRRI＝•CR愈小，判断矩阵的一致性愈好；•一般地，当CR0.1时，可认为判断矩阵具有满意的一致性。否则需要调整判断矩阵，直至满意的一致性。273，一致性检验Max-n7.6917CI0.115n171RI1.32CI0.115CR0.0870.10RI1.32＝＝＝＝＝＝＝说明判断矩阵具有较为满意的一致性。实例28(四)层次总排序利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言的本层次所有元素的重要性权重值，这就称为层次总排序。层次总排序需要从上到下逐层顺序进行。对于最高层，其层次单排序就是其总排序。若上一层次所有元素A1，A2，…，Am的层次总排序已经完成，得到的权重值分别为a1，a2，…，am与aj对应的本层次元素B1，B2，…，Bn的层次单排序结果为：123nji,,,,'(A0)jjjjjibbbbBb这里，当与无联系时，29层次总排序表111nmjjiijab30城市投资环境基础设施0.3社会环境0.1经济水平0.6交通运输及发展水平0.426邮电通讯发展水平0.256教育科技发展水平0.377医疗服务水平0.251工业发展水平0.249对外经济联系度0.11电力供应状况0.097城市化水平0.13固定资产投资效益0.334。。。。。。。。。31城市公交系统优化满足乘客要求S1降低公交成本S2提高社会效益S3迅速T1舒适T5提高服务水平T6增加企业收入T7降低能源消耗T8控制环境污染T9准点T4方便T3安全T232总一致性检验在(1)式中，CI为层次总排序的一致性指标，CIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的一致性指标；在(2)式中，RI为层次总排序的随机一致性指标，RIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的随机一致性指标；在(3)式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。同样，当CR＜0.10时，则认为层次总排序的计算结果具有令人满意的一致性；否则，就需要对本层次的各判断矩阵进行调整，从而使层次总排序具有令人满意的一致性。11CIRImjjjmjjjaCIaRICICRRI(1)(2)(3)33小结：AHP求解步骤建立层次结构模型；对各层元素两两比较，构造判断矩阵；求解判断矩阵的特征向量，并对判断矩阵的一致性进行检验；一致性检验通过后，确定各层排序加权值，若检验不能通过，需要重新调整判断矩阵；得出层次总排序。34案例2:•对深圳市建设用地进行生态适宜性评价，并根据评价结果提取深圳市基本生态控制区域(王海鹰、张新长等，2009)。•利用德尔菲法确定影响城市建设用地生态适应性的自然、社会经济和生态安全等因素，采用层次分析法计算相关影响因子权重。35城市建设用地生态适宜性评价综合指数社会经济因素自然因素生态安全因素高程、坡度、坡向、地貌类型、地基承载力、水域、植被土地利用、建设区面积、道路区位优势基本农田保护、自然保护区、保护水域、人文景观36续383940附录：求最大特征值及特征向量定理：设有因素C1，C2，…，Cn和目标D，记iijjCcC对目标D的影响对目标D的影响则得判断矩阵C=(cij)n×n,解矩阵C的特征方程|C-λE|=0，E为单位阵，求特征值λi(i=1,2,…,n)，记最大特征值为λmax,对应的λmax的标准化特征向量为Y=(y1,y2,…,yn)T，则yi(i=1,2,…,n)为因素Ci对目标D的权重。41证明：设指标C1，C2，…，Cn对目标D的影响分别为正数x1,x2,…,xn,记为列向量X=(x1,x2,…,xn)T,通过专家评估得到比较矩阵C的判断矩阵为：111122221212nnnnnnxxxxxxxxxxxxCxxxxxx42设C的特征值为λ，对应的特征向量为Y，解特征方程|C-λE|=0，即11112222121200nnnnnnxxxxxxxxxxxxCExxxxxx43111122220nnnnxxxxxxxxxxxx