4.2指数函数(新课改2019新版人教版-A版高中数学必修第一册)

第四章指数函数与对数函数4.2指数函数主讲人：小周周老师14.2指数函数•4.2.1概念•4.2.2图像和性质24.2指数函数框架3指数函数概念图像性质4.2指数函数•1.概念—(预习教材P111-P113)•问题1旅游经济的问题•问题2碳14衰减的问题44.2指数函数•1.概念—(预习教材P111-P113)•问题1旅游经济的问题5由图表，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但是从图像和年增加量都难以看出变化规律.B地景区如何用数量表示？减法运算减法运算考虑除法运算增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.B地景区的游客人次近似于指数增长.4.2指数函数•1.概念—(预习教材P111-P113)•问题1旅游经济的问题6(1)10(2)2001.1.11,[0,).xABxyyx地景区：游客人数的变化呈线性增长，年增加量约为万次；地景区：游客人数的变化呈指数增长设经过年后的游客人次为年的倍则4.2指数函数•1.概念—(预习教材P111-P113)•问题2碳14衰减的问题7科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生包括碳14在内的放射性物质，碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”.动植物在生长过程中衰减的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物体内的碳14含量不变，死亡后的动植物停止了与外界的相互作用，体内原有的碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年.这也是考古中常用碳14来推断年代的原因.4.2指数函数•1.概念—(预习教材P111-P113)•问题2碳14衰减的问题8当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，若把刚死亡的生物体碳14含量看成1个单位，则123114(1)214(1)314(1)14(1).xpppxp死亡年后，碳含量为；死亡年后，碳含量为；死亡年后，碳含量为；死亡年后，碳含量为14(1).xxyyp设死亡年数为，死亡生物体内碳含量为，则15730573011(1)1.22pp由题意，，则157301,[0,).2xyx所以衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.4.2指数函数•1.概念—(预习教材P111-P113)•问题1旅游经济的问题•问题2碳14衰减的问题•定义：9(1)10(2)2001.1.11,[0,).xABxyyx地景区：游客人数的变化呈线性增长，年增加量约为万次；地景区：游客人数的变化呈指数增长设经过年后的游客人次为年的倍则15730141,[0,).2xyyx死亡生物体内碳含量呈指数衰减.(0,1)(exponencialfuncition).xyaaaxR一般地，函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是4.2指数函数•1.概念•例110(0,1),.xyaaaxR且()(01)(3)(0),(1),(3).xfxaaaffff已知指数函数，且，且，求的值.()aafx分析：是未知参数思路：先求的值，解得的解析式；再求函数值.1333(3)().xfaafx解：由即，解得，则013133331(0)1(1),(3).fff所以，15730121414,[0,).2xyyx问题碳的衰减问题死亡生物体内碳含量呈指数衰减，即4.2指数函数•1.概念•例211(0,1),.xyaaaxR且(1)1100015015,(2)21000014AAB在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来元门票之外的收入，地景区的门票价格为元，比较这年间两地旅游收入变化情况？在问题中，某生物死亡年后，它体内碳的含量衰减为原来的百分之几？1(1)102001600(2)2001278.2001.1.11,[0,).xABxyyx分析：问题旅游经济问题地景区：游客人数的变化呈线性增长，年增加量约为万次，其中年万次；地景区：游客人数的变化呈指数增长,其中年万次设经过年后的游客人次为年的倍则()()()1150(10600)()10002781.11.xABfxgxxfxxgx解：(1)设经过年，游客给、两地带来的收入分别为和，则，0(0)(0)412000.xfg利用计算工具结合图形，得当时，4.2指数函数•1.概念•例212(0,1),.xyaaaxR且(1)1100015015,(2)21000014AAB在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来元门票之外的收入，地景区的门票价格为元，比较这年间两地旅游收入变化情况？在问题中，某生物死亡年后，它体内碳的含量衰减为原来的百分之几？()()()1150(10600)()10002781.11.xABfxgxxfxxgx解：(1)设经过年，游客给、两地带来的收入分别为和，则，0(0)(0)412000.10.22,(10.22)(10.22)0(10.22)(10.22).xfgxfgfg利用计算工具结合图形，得当时，当时即10.22,()()10.22,()().14(14)(14)347303.xfxgxxfxgxxgf当时，当时当时，4.2指数函数•1.概念•例213(0,1),.xyaaaxR且(1)1100015015,(2)21000014AAB在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来元门票之外的收入，地景区的门票价格为元，比较这年间两地旅游收入变化情况？在问题中，某生物死亡年后，它体内碳的含量衰减为原来的百分之几？57301000057301214().(),[0,).21(10000)0.30.2xxhxhxxh解：()设生物死亡年后，它体内碳含量为则利用计算工具，解得15730121414,[0,).2xyyx问题碳的衰减问题死亡生物体内碳含量呈指数衰减，即Excel:0.2983所以生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减约为原来的30%.4.2指数函数•2.图像和性质•(1)描点法142xy用描点法画的图像步骤：①列表②描点③连线4.2指数函数•2.图像和性质•(2)比较底数互为倒数的图像1512()2xxyyy①与的图像关于轴对称；00001(,)2(,)().2xxxyyxyy②点在的图像上，则点在的图像上如，12()2xxyRyR③在上单调递增；在上单调递减.yx4.2指数函数•2.图像和性质•(2)比较底数互为倒数的图像16(0,1)xyaaa且a=4a=3a=2a=1/4a=1/3a=1/2xxyayay①与的图像关于轴对称；0000(,)(,).xxxyyaxyya②点在的图像上，则点在的图像上(1)xxyaaRyaR③在上单调递增；在上单调递减.00,.xxxaaxaa④比较大小：当时，越大，越大；当时，越大越小4.2指数函数•2.图像和性质•(3)图像和性质170a1a1图像定义域值域定点单调性(01)xyaa(1)xyaa(0,1)(0,1)R(0,)(0,1)点减函数增函数(0,1)xyaaa且4.2指数函数•2.图像和性质•例3比较下列各题中两个值的大小：182.53230.33.1(1)1.7,1.7(2)0.8,0.8(3)1.7,0.9.；；(1)xyaa(0,1)(01)xyaa(0,1)2.53(1)1.711.7(,)2.531.71.7xy解：依题意，得由底数，则在为增函数.由，则.23(2)00.810.8(,)230.80.8xy由，则在为减函数.由，则.0.300.33.103.13.10.30.33.1(3)1.711.7(,)0.301.71.711.71.00.910.9(,)3.100.90.90.910.911.7.1.70.9.xxyy由底数，则在为增函数.由，则即由，则在为减函数.由，则=1即.综上，所以4.2指数函数•2.图像和性质•例4如图，某城市人口：呈指数增长.19(1)(2)8020根据图像，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)；该城市人口从万人开始，经过年会增长到多少万人？2分析：翻一番是原数的倍.(1)0,520,104020604080,80.xyxyxyxyxy解：依题意，得由图，得时；时；时，；时，；时所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)(1)20208020160.由知，每经过年，人口将翻一番，即倍增期为年，所以从万人开始，经过年，该城市人口大约会增长到万人小结(指数函数)200a1a1图像定义域值域定点单调性(01)xyaa(1)xyaa(0,1)(0,1)R(0,)(0,1)点减函数增函数1.(0,1)xyaaa指数函数形式：且2.比较大小方法：利用单调性，借助图像，中间量.