Coons曲面

第十章B样条曲线曲面Coons曲面有理样条曲线曲面第十章B样条曲线曲面、Coons曲面和有理样条曲线曲面10.1B样条曲线曲面Bézier曲线是一段n次多项式曲线，它具有许多优点，如凸包性、保型性等，但也存在缺点：1.缺少局部性，修改某一个控制顶点将影响整条曲线；2.曲线与控制多边形的逼近程度较差,次数越高，逼近程度越差；3.当表示复杂形状时，无论采用高次曲线还是多段低次曲线拼接起来的曲线，都相当复杂。要克服Bézier曲线的缺点，需要对它进行推广。Bézier曲线的缺点,0()()niinitJtPP，0≤t≤1分段多项式曲线Bézier曲线的自然推广是分段多项式曲线，其特点是每个基函数有影响的区域是有限的。早在20世纪40年代人们就发现了多项式样条曲线，但直到60年代末，由于CAD技术的发展和计算机图形学的兴起，人们才逐步了解到它的重要性，并得到深入的研究和广泛的应用。10.1.1B样条基函数的定义和性质给定参数t轴上的一个分割ti(ti≤ti+1，i=0，±1，±2…)。由下列递推关系所定义的Bi，k(t)称为T的k阶(或k-1次）B样条基函数。并约定0/0＝0。此处称为节点向量，称为节点。当满足时，则称上式中除和以外的每一节点为T的L重节点{}iitTit111jjjjljlttttt1jt1,1,,11,1111,()0,(10.1)()()(),iiiiikikikikikiikitttBtttttBtBtBtttttt其他jltB样条基函数的推导：1B样条基函数示意图Bi,2(t)Bi+1,2(t)Bi,3(t)Bi+1,3(t)Bi,4(t)titi+1ti+2ti+3ti+4titi+1ti+2ti+3ti+4titi+1ti+2ti+3ti+41Bi,1(t)Bi+1,1(t)其他0ttt1)t(B1ii1,i)()(B1,11221,12itBtttttBtttttiiiiiiii）（，titi+1ti+2ti+3ti+4)()(B2,11332,23itBtttttBtttttiiiiiiii）（，,,11,111()()()iinininininiinittttBtBtBttttt即只在区间中为正，在其它地方的值均为零(k1)。,()ikBt(,)iiktt,()ikBt,0,()0,iikiktttBt其它(1)局部性B样条基函数的性质tj-ktj+1-ktjtj+qtj+q-1当时，显然成立.假设时成立,现证明时也成立。即上式右端第项的第二项和第项的第一项合并得由的局部性知，如果取，，则根据≥0及上式,可把看作是计算平均值的权.,()1,ikiBt1k1knkn,,11,111()()()iininininiiiniinittttBtBtBttttti1i,,-1()()1ininiiBtBt,()ikBtjjqttt0q1,1()1jqikijkBt,()ikBt,()ikBt(2)权性证用归纳法。(3)分段多项式在其值不为零的区间上是次数不高于次的多项式，在值为零的区间上是零次多项式，从而它在整个参数轴上是次数不高于次的分段多项式。(4)连续性节点的重数每增加一次，的连续阶就减少一次,因此,在重节点处的连续阶不低于阶。,()ikBt),(kiitt1k1k,()ikBt,()ikBtl1kl(5)求导公式,11,1,11()()()(1)ikikikikiikiBtBtBtktttt10.1.2B样条曲线的定义和性质012,,,,nPPPP,0()(),niikitBtPP11knttt1nP2P0P1PnB样条曲线及其控制多边形为阶(或次)B样条曲线,点集称为的控制顶点，折线为的控制多边形。k1k012{,,,,}nPPPP()tP012nPPPP()tP设为给定的个空间点，称下列参数曲线(1)局部调整性,()ikBt(,)iiktt()Pt基函数只在区间上不为零，在区间1(,)iitt(1)kin上的部分只与控制顶点有关。1ikP2ikPiP，，…，反过来，如果只变动某一个控制顶点曲线上只有局部形状发生变化，其他部分均不发生变化。(0in)iP所以曲线示意图见下页图8-16B样条曲线的局部支柱性P0P1P2P3P5P6P7P4P′4P″4(2)仿射不变性B样条曲线和Bézier曲线一样，也具有仿射不变性，即曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。(3)分段参数多项式在每一区间(k-1≤i≤n)上都是次数不高于k-1次的参数t的多项式曲线，所以在上是关于参数t的分段多项式曲线。1[,]iitt11[,]kntt(4)连续性在L重节点(k≤i≤n)处的连续阶不低于k-1-L。整条曲线的连续阶不低于,其中表示位于区间内节点的最大重数。itmax1klmaxl11[,]kntt()tP()tP()tP()tP()tP(5)凸包性曲线在区间(k-1≤i≤n)上的部分位于k个控制顶点，的凸包内。整条曲线则位于各凸包的并集之内。1[,]iitt1ikP2,,ikiPPiCiC1niikC当连接后，如果形成一个平面凸的闭多边形，则是一条平面凸曲线。B样条曲线和Bézier曲线一样，也具有保凸性，如图10.3所示。(6)保凸性0nPP012nPPPP()tP()tP()tPB样条曲线在控制多边形凸包内部1234PPPPB样条曲线的变差缩减性(7)变差缩减性设的控制多边形是一平面多边形，则该平面内的任意直线与的交点个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数。012nPPPP()tP()tP(8)造型的灵活性在设计曲线时，有时希望在曲线某一点处形成角点，或将某一段变成一直线段，或要求曲线与某一直线相切。B样条曲线提供了实现这些要求的手段。灵活地选择控制点的位置和节点的重数，可形成许多特殊形状，以满足设计的要求。例如B样条曲线一般不经过和两点，如果要使曲线经过和两点，只需定义和即可。it0PnP0PnP0121ktttt12nnnkttt()tP(9)导数曲线由B样条基函数的导数公式,得到B样条曲线的导数曲线为它是一条k-1阶(或k-2次)B样条曲线。1,111()(1)()niiikiikitkBtttPPP11knttt10．1．3B样条曲线的计算可采用不同的方法计算B样条曲线上任何一点的值。deBoor算法的描述如下：1[,)jjtt,1,0()()()jiikijkniikiBttBtPPP,11,1111()()jiikiikikijkikiikittttBtBtttttP11,-1211()jikiiiikijkikiikittttBtttttPP1jjttt将t固定在区间(k-1≤j≤n)上，将简化如下()tP(10.3)上式将同一条曲线由k阶B样条表示成k－1阶B样条。反复运用此公式，最终将得到[][1][1]1,0,1,2,,()()()1,2,,1;1,,illlikliiiiikliiklilijkjkjtttttttttttlkijkljPPPP则式（10.3）可表示成[],12()()()jliikijkttBtPP[1]()()kjttPP()tP于是,的值可以通过deBoor算法的递推关系求得。下图反映的是用deBoor算法从得到的递推过程。012,,,,nPPPP[1]()kjtPdeBoor算法的递推关系Pj-k+3Pj-1Pj-k+1Pj-k+2Pj[1]kjP[1]2jkP[1]3jkP[1]jP[2]jP[2]3jkP()tP[][]1rriiPP[1]riP12jkjkjPPP()tP[1]()kjtP图10.5所示是deBoor算法的的几何意义，以线段割去角，从多边形开始经过k－1层的割角，最后得到上的点。这个割角过程比Bézier曲线的割角过程复杂。过程示意图见下页图10.5B样条曲线的deBoor算法[3]4jkPPj-k+1Pj-k+2Pj[1]2jkP[1]jP[1]3jkP[2]jP[2]3jkPB样条曲线的doboor算法程序演示动画10.1.4三次B样条曲线当参数均匀分割时，空间n+1个顶点(i=0,1,2,3…..n)定义的三次B样条曲线称为三次均匀B样条曲线。本节考虑由相邻四个顶点定义的三次均匀B样条曲线及其性质。iP因此可以从的性质推知任意的性质。由于节点分布均,具有较简单的表达式。根据的递推公式容易得到的公式100t,()ikBt,0,()()ikkBtBti0,()kBt,()ikBt,()ikBt,()ikBt0,4()Bt030,41320,42320,40,4330,4()/6,[0,1]()(312124)/6,[1,2]()()(3246044)/6,[2,3]()(4)/6,[3,4]0,BtttBtttttBtBtttttBttt其他不失一般性，令节点间隔，。B样条基函数具有如下平移性质对于三次均匀B样条曲线，在区间[j,j=1](k-1≤j≤n)上，我们将它表示成矩阵形式3,42,4,432131,4,4()()()()[]()()jjjiijjjjijjjBtBttBtBtBtPPPPPP30,420,432110,400,4(3)(2)[](1)()jjjjBtjBtjBtjBtjPPPP取参数变换s=t-j，则。曲线变为[0,1]s30,420,432110,400,4(3)(2)()[](1)()jjjjBsBssBsBsPPPPP321231331140631[]133360001jjjjsssPPPP[0,1]s令320123133136301[()()()()][1]303061410BtBtBtBtttt则称为四个点定义的三次B样条曲线段的一组基函数，即对三次B样条曲线上由，，和四点定义的一段曲线可表示成0123[()()()()]BtBtBtBt,40()()niiitBtPP3jP2jP1jPjP33()()jiijijtBtPP准均匀三次B样条曲线三次均匀的B样条曲线()tPP(t)Pj图10.6三次B样条曲线Pj-2Pj-1Pj-3NM如图10.6所示，由式定义的三次B样条曲线有如下性质33()()jiijijtBtPP(1)端点位置矢量即曲线的起点位于中线的1/3处，终点位于中线的1/3处。3211(0)(4)6jjjPPPP211(1)(4)6jjjPPPP321jjjPPP2jPM21jjjPPP1jPN曲线在始点处的切矢量平行于的边，其模长是该边长的1/2；终点处的切矢量平行于的边，其模长是该边长的1/2。因此，对三次B样条曲线上相邻两段曲线，前一段曲线的终点就是后一段曲线的起点，并且对应共同的三角形，所以，两段曲线在连接点处具有相同的一阶导数矢量。13(0)()/2j