随机信号习题及答案

101第一章1.二进制无记忆不对称信道，如图所示，传输0，1，分别以A0和A1代表发送0和1，以B0和B1代表接收0和1码，两个正确的转移概率分别为65)/(00=ABP，43)/(11=ABP，两个错误的转移概率分别为61)/(01=ABP，41)/(10=ABP，且先验概率相等，即：21)()(10==APAP，求：①B端接收到0码及1码的概率)(0BP及)(1BP；②当分别收到0和1码后，判断原来发送的是什么码的概率？即求：)/(01BAP、)/(11BAP、)/(00BAP和)/(10BAP。2.随机变量X的分布律为7.01.02.0210PX求：①X的分布函数)(xF；②{}5.0≤XP，{}5.11≤XP，{}5.11≤≤XP；③随机变量13+=XY的分布函数。3.已知随机变量X的分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤=111000)(2xxkxxxFX，求：①系数k；②X落在区间（0.3，0.7）内的概率；③随机变量X的概率密度函数。4.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为：⎩⎨⎧+∞+∞=+−其它00,0),()(yxeyxfyx求：①分布函数),(yxFXY；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。xx+y=10y5.（续上题）求③边缘分布函数)(xFX和)(yFY；④求边缘概率)(xfX和)(yfY。6.（续上题）⑤求条件分布函数)(yxFX和)(xyFY；⑥求条件概率密度)(yxfX和)(xyfY。1027.已知随机变量X服从标准高斯分布，求随机变量2XY=的概率密度。8.已知二维随机变量),(21XX具有联合概率密度：⎩⎨⎧=+−其它00,0),(21)(212121xxexxfxxXX新的二维随机变量),(21YY是),(21XX的函数，满足关系：2211XXY+=，2212XXY−=求：①二维随机变量),(21YY的联合概率密度),(2121yyfYY；②边缘密度)(11yfY和)(22yfY，说明1Y与2Y是否相互独立。9.已知随机变量X服从（0，1）的均匀分布，随机变量Y服从（X，1）的均匀分布。求①条件数学期望][xXYE=；②条件数学期望][XYE。10.已知随机变量ϕ=cosX和ϕ=sinY，式中ϕ是在)2,0(π上均匀分布的随机变量。讨论X和Y的相关性及独立性。11.已知随机变量X的均值3=Xm，方差22=σX，且另一随机变量226+−=XY。讨论X和Y的相关性和正交性。12.设随机变量Y和X之间为线性关系baXY+=，a、b为常数，且0≠a。已知随机变量X为正态分布，即：]2)(exp[21)(22XXXXmxxfσ−−σπ=求：随机变量的概率密度。第二章随机过程一、填空题1.一个严平稳过程只要均方值有界，则它必定是，反之则；一个广义平稳的正态过程必定是。2.广义遍历的信号______（是、不是、不一定是）广义平稳随机信号；反之，广义平稳的随机信号_______（是、不是、不一定是）广义遍历的随机信号。3.任意维的概率密度函数为高斯分布的噪声称为________；而如果一个随机过程的功率谱密度是常数，则称它为____。4.若对应任意两个时刻t1,t2，均有()()[]()()2121tmtmtYtXEYX=，则随机过程()tX与()tY________（不相关、独立、正交）；若联合平稳过程()tX和()tY的互相关函数()0,21=ttRXY，则()tX与()tY_（不相关、独立、正交）；若()()()2121,,,;,tyftxfttyxfYXXY=，则()tX与103()tY_______。5.已知平稳过程()tX的自相关函数为()ττ51116++=XR，则其均值为，方差为。6.若一高斯过程是宽平稳的，则必定是；若一个高斯过程不同时刻状态间是互不相关的，则必定是的（独立、不独立、不一定）。7.若线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为。二、简答题1.请给出随机过程为宽平稳随机过程满足的条件。2.若平稳随机过程是信号电压，试说明其数字期望、均方值、方差的物理意义。3.给出平稳过程的自相关函数的性质。4.写出随机过程的两个定义。5.随机过程有那两个变化特性，如何理解其随机性？6.叙述“狭义平稳”的定义；如何理解这个定义在实际应用中的困难？7.(a)随机过程的遍历性与平稳性的关系是什么？(b)简述“狭义遍历”与“宽遍历”的关系。三、计算题1设随机振幅信号为0()sinXtVtω=，其中0ω为常数；V是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。2.设随机过程()cos()sin()XtAtBtt=++，其中A、B为两个互不相关的随机变量，且{}1EA=、{}2EB=、2{}3EA=、2{}4DB=。求过程()Xt的均值、相关函数。3设随机过程()Yt和常数a，试以()Yt的自相关函数表示出另一随机过程，()()()XtYtaYt=+−的自相关函数。4设随机过程0()cosXtAtω=，0()sinYtBtω=。而其中A、B为相互独立的随机过程，且它们均值为零、方差皆为2σ。证明()()()ZtXtYt=+是宽平稳的随机过程。5设随机过程0()cos()Ytatω=+Θ，其中a，0ω为常数，随机相位Θ均匀分布于(0,2)π上。求过程()Yt的均值，方差，自相关函数及协方差。6设随机过程0()cos()Xtatω=+Θ，其中a，0ω为常数，随机相位Θ均匀分布于(0,2)π上。判断()Xt是否为平稳随机过程，给出理由。7设随机过程()()ZtXtY=+，其中()Xt是一平稳过程，Y是与()Xt无关的随机变量。试讨论过程()Zt的遍历性。8如果随机过程()+∞∞−=ttVtX4cos，式中V是随机变量,其均值为1、方差为3。求：随机过程()tX的均值、方差、相关函数和协方差函数。1049若两个随机过程()()ttAtXcos=和()()ttBtYsin=都是非平稳过程，其中()tA和()tB为相互独立，且各自平稳的随机过程，它们的均值为0，自相关函数()()()τττRRRBA==。试证这两个过程之和()()()tYtXtZ+=是宽平稳的。10设随机信号()()Φ+=twAtX0cos，式中A和Φ为统计独立的随机变量，且Φ在[]π2,0上均匀分布，试问该信号是否具有平稳性？证明之。第三章平稳随机过程的谱分析一．简答题1给出平稳过程的功率谱密度的性质。2简述功率谱密度与自相关函数的关系，写出相互转换的数学关系表达式。3简述互功率谱密度与互相关函数的关系，写出相互转换的数学关系表达式。4简述功率谱密度的采样定理。5什么是理想白噪声。6什么是带限白噪声。7色噪声的定义。二．计算题1.平稳过程X(t)的双边功率谱密度为)16/(32)(2+=ωωXS。求：（1）该过程的平均功率（在1欧负载上）；（2）ω取值范围为（-4，4）的平均功率。2.设平稳过程X(t)的功率谱密度为1,88()0,XSωωππω−≤⎧⎪=⎨⎪⎩其他，求该过程的均方值。3.在下列函数中，试确定哪些函数是功率谱密度，哪些不是，并说明原因。262222cos31(1)(2)(3)(4)3311213ωωωωωωωωω+++++−4.设A和B为随机变量，我们构成随机过程tBtAtX00sincos)(ωω+=，式中0ω为一常数。（1）证明：若A和B具有零均值及相同的方差2σ，且不相关，则X（t）为（宽）平稳过程；（2）求X（t）的自相关函数；（3）求该过程的功率谱密度。5.已知平稳过程X（t）的自相关函数如下：0(1)()cosXReαττωτ−=；232(2)()XRbeτατ−=分别求过程X（t）的功率谱密度。6.已知平稳过程X（t）的自相关函数如下：(1)()4coscos3XReττπτπτ−=+；24(2)()168XReeτττ−−=−，分别求过程X（t）的功率谱密度。7已知平稳过程的自相关函数32()54cos2xReτττ−=+，求其功率谱密度1058.若系统的输入X（t）为平稳随机过程，系统的输出为Y(t)=X(t)+X(t-T)。试着证过程Y(t)的功率谱密度为()2()(1cos)YXSSTωωω=+9.设随机过程0()()sinYtaXttω=，其中0,aω皆为常数，()Xt为具有功率谱密度()XSω的平稳过程，求过程()Yt的功率谱密度10.平稳随机过程()Xt和()Yt的互功率谱密度函数为10()45XYSjωω=+，求对应的互功率谱密度函数()YXSω。第四章4-1设确定性随机信号为()()Θ++=tBMtX20cos其中M、B、Θ是随机变量。将()tX输入到单位冲激响应为()()tUetht1010−=的系统的输入端，求系统输出随机信号的表达式。4-2已知系统的单位冲激响应()()tUetht35−=，设其输入随机信号为()()∞∞−Θ++=ttMtX),2cos(4，其中M是随机变量，Θ是()π2,0上均匀分布的随机变量，且M和Θ相互独立，求输出信号的表达式。4-3在4-1中，设M是一个均值为5，方差为64的高斯随机变量，B是均值为32且服从瑞利分布的随机变量，Θ是在[]π2,0上服从均匀分布的随机变量。M、B和Θ相互统计独立，求系统输出的均值。4-4输入随机信号()tX的自相关函数()ττ−+=beaRX2，式中a、b为正常数，试求单位冲激响应()()tUethat−=的系统的输出均值)0(a。4-5设输入随机信号())20cos(Θ++=tBMtX，式中M是均值为5、方差为64的高斯随机变量，B是均方值为32的瑞利随机变量，Θ是()π2,0上均匀分布的随机变量，这三个随机变量相互独立。若系统的单位冲激响应()()()tUettht1010−−=δ，试求其输出的均值和均方值。4-6设线性系统的单位冲激响应()()tUetht33−=，其输入是自相关函数()ττ42−=eRX的随机信号，试求输出自相关函数()τYR、互相关函数()τXYR和()τYXR分别在0=τ、5.0=τ、1=τ时的值。+延迟TX(t)Y(t)=X(t)+X(t-T)X(t-T)第7题的图1064-7设有限时间积分器的单位冲激响应()()()5.0−−=tUtUth，它的输入是功率谱密度为HzV/102的白噪声，试求系统输出的均值、均方值、方差和输入输出互相关函数。4-8若输入平稳随机信号的自相关函数为()ττ216−=eRX，重做题4-6。4-9电路如图1所示。输入白噪声的功率谱密度为20N，试求输出的功率谱密度和自相关函数。()tX()tYLR+−+−图14-10若电路图如图2所示，重做题4-11。()tX()tYR+−+−C图24-11如图所示的低通RC电路，已知输入信号()tX是宽平稳的双侧信号，其均值为Xm，求输出均值。()tX()tYRC4-12若上例中()tX是自相关函数为()τδ20N的白噪声，求：1输出的自相关函数；2输出的平均功率；3输入与输出间的互相关函数()τXYR和()τYXR。4-13在4-12中，假设()tX的自相关函数为()τββτ−=eNRX40，式中b≠β，求输出的自相关函数。第五章一、填空1.希尔伯特变换是一种，因此把它作为一个来处理。2.一个随机信号的功率谱密度，只要分布在高频载波0ω附近的一个窄带范围ωΔ内，在此范围以外为零，即满足0ωωΔ，则称之为。其数学表达式为：。1073.窄带随机过程的莱斯（Rice）表示式：。4.()ta、()tb的性质：。5.窄带随机过程表示为准正弦振荡形式：，其中0ω是窄带随机过程的。6.窄带高斯随机过程的包络和相位的一维概率密度分别为和，且二者在同一时刻是随机变量，但不是两个统计独立的。二、计算1.求0()cosxtAtω=的希尔伯特变换2.求窄带信号0()()cos[()]xtAtttωθ=+的希尔伯特变换3.设低频信号()at的频谱为(),/2()0,AAωωωω⎧Δ⎪=⎨⎪⎩其他证明：当/2ωωΔ时有0000[()cos]()sin[()sin]()cosHattattHattattω