费马大定理的初等巧妙证明(完全版)

1费马大定理的初等巧妙证明(完全版)李联忠（营山中学四川营山637700）费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程nnnyxz当n≥3时无正整数解。证明：当n=2时，有222yxz∴))((222yzyzyzx（1）设22)(myz则22myz代入（1）得222222222222)(2)22(2lmmymmymyzx∴mlx222mly22mlz当n=3时，有333yxz∴))((22333yzyzyzyzx（2）设323)(myz则323myz代入（2）得］［23223232333)3()3(3yymymymyzx)3333(36432232mymym)33(36332233mymym设363322)33(lmymy（3）则mlx3（4）323myz（5）若z,y的公约数为k,即(z,y)=k，k1时，方程333yzx两边可以除以3k，下面分析k=1即（z,y）=1,方程333yzx的正整数解因为（z,y）=1，分析（2），（3），（4），（5）式，只有m,l为正整数时，x,y,z可能有正整数解，由（3）得)33)(3(3)3(4222263332mlmlmlmlmyy(6)∵y,m,l都取正整数，∴)3(32myy)33()3(42222mlmlml2∴)33(4222mlmly∴y没有形如y)33(4222mlml的正整数解。又∵（6）式左边分解为y和y的（3－2）次式，右边分解为)3(2ml和l的（3－1）次式，且y,m,l都取正整数，如果y=)3(2ml,则)33(3422232mlmlmy，如果)33(3422232mlmlmy，则y)3(2ml.∴)33(3)3(4222322mlmlmymly和不能同时成立∴y没有形如)3(2mly的正整数解若)3(2ml=ab,)33(4222mlml=cd(a,b,c,d为正整数)可得相应方程组bcdmymlay32233或abdmymlcy32233或bdmymlacy32233这些方程组里的m,l没有正整数解，若有正整数解，则与y没有形如)3(2mly或)33(4222mlmly的正整数解矛盾。又∵)3(2mly在m,l取正整数的条件下，y可取到任意正整数∴y没有正整数解。∴当n=3时，方程333yxz无正整数解。当n3时，nnnyxz∴))((1221nnnnnnnyzyyzzyzyzx（7）令nnmnyz1)(则nnmnyz1代入（7）得))((1221nnnnnnnyzyyzzyzyzx］［（))()()12121111nnnnnnnnnnnnyymnyymnymnymn211112121111)(nnnnnnnnymnccccnymn［32)1(222232221)(nnnnnymncccc］nnnnnnnnnnnnnnmncymncc)1()1)(1(11)2()1)(2(2221)(211111212111)(nnnnnnnnymnccccymn［3321)1(222232221)(nnnnnymncccc］nnnnnnnnnnnnnnmncymncc)1(1)1)(1(11)2(1)1)(2(2221)(设211111212111)(nnnnnnymnccccy［321)1(222232221)(nnnnnymncccc］nnnnnnnnnnnnnnmncymncc)1(1)1)(1(11)2(1)1)(2(2221)(nl（8）则mlx3（9）nnmnyz1（10）若z,y的公约数为k,即(z,y)=k，k1时，方程nxnyzx两边可以除以nk，下面分析k=1即（z,y）=1,方程nxnyzx的正整数解因为（z,y）=1，分析（7），（8），（9），（10）式，只有m,l为正整数时，x,y,z可能有正整数解，由（8）得12111112121111)(nnnnnnymnccccyy［1321)1(222232221)(nnnnnymncccc］nnnnnnnnmncc)2(1)1)(2(2221)())(()1)(1()2)(1()1(2)2(23122112nnnnnnnnnnnnnmnmnlmnllmnl(11)简记为yf(2ny)=)3(12nnmlF(1nl)∵y,m,l都取正整数。∴yf(2ny))3(12nnmlF(1nl)∴)()1)(1()2)(1()1(2)2(231221nnnnnnnnnnnmnmnlmnlly=F(1nl)∴y没有形如y=F(1nl)的正整数解。又∵（11）式左边分解为y和y的（n－2）次式，右边分解为)(12nnmnl和l的（n－1）次式，且y,m,l都取正整数，如果y=)(12nnmnl,则f(2ny)F(1nl),如果f(2ny)=F(1nl),则y)3(12nnml4∴)(12nnmnly和f(2ny)=F(1nl)不能同时成立。∴y没有形如)(12nnmnly的正整数解。若)3(12nnml=ab,F(1nl)=cd(a,b,c,d为正整数)可得相应方程组bcdyfmnlaynnn)(212或abdyfmnlcynnn)(212或bdyfmnlacynnn)(212这些方程组里的m,l没有正整数解，若有正整数解，则与y没有形如)(12nnmnly或y=F(1nl)的正整数解矛盾。又∵)(12nnmnly在m,l取正整数的条件下，y可取到任意正整数∴y没有正整数解。∴当n3时，方程nnnyxz无正整数解。定理得证。