正态分布的应用举例浅析(1)

394正态分布的应用举例浅析王　渊1　孔　运２　　1.重庆市沙坪坝区重庆大学B区土木工程学院　2.重庆市沙坪坝区重庆大学A区机械工程学摘　要：对于一些现实生活生产问题，总体的真实分布规律往往比较复杂，为了有效降低问题的复杂程度，人们往往将其视为正态总体。本文通过“个人计件工资核算标准研究”为例，利用正态分布模型对其中的实际问题进行初步探讨。关键词：正态分布　计件工资核算　假设检验　层次差异一、引言计件工资是按照劳动者生产合格产品的数量和预先规定的计件单价计量和支付劳动报酬的一种工资形式。计件制通过提高员工福利待遇等方式来刺激员工的积极性，从而为企业带来效益。对于企业管理者，就要在设定计件制工资核算标准之前合理利用现有历史生产资料，从而提出合理的工资核算标准。二、工资核算标准的背景及问题的提出重庆市某汽车配件制造企业实施工人个人计件工资核算改革项目。该项目深入企业生产车间，获取制造过程中的第一手数据。目前，企业加工某种汽车零配件。由于采用的是冲压生产方式，生产具有较强的规律性，因此企业管理者假定工人的加工零件数量符合正态分布。该企业对于上述零配件使用的简化个人计件工资公式为：y=1000+（x-3000）×1.5y（元）为应付月工资，x(件)为月加工工件数。一般来讲，企业员工月加工数量均值μ0约为4000件，按该工资核算方案，员工平均工资为2500元。这比较符合重庆的实际情况。车间获得的部分数据如下。具有多年生产经验的操作工人A的近三年工作记录（2008年1月~2010年12月）：加工数量3950件3970件3960件4040件4100件4000件3930件4030件3980件3990件4060件4000件加工数量3990件3950件3970件4030件4000件4010件4120件4020件3970件3980件4050件4040件加工数量4020件3980件3990件4010件4090件4030件4010件4000件3970件3930件4030件4010件　　　新员工B新近10个月的工作记录：加工数量3960件3990件4000件4020件4030件3980件4020件4010件3990件4020件据了解车间老员工和新员工数量相当。基于以上统计数据和既定工资核算方案，有以下两个关键问题：1.企业的假设是否合理？2.能否结合数据找出更优的工资核算方案？三、样本分析1.正态分布模型的建立。根据样本观测值，通过使用Excel等软件绘制频率直方图的方式可以判断员工月加工水平的密度曲线大致为正态分布曲线。（频率直方图在此省略）　　　利用员工A和B的历史记录，有如下表格：区间[3912.5,3937.5][3937.5,3962.5][3962.5,3987.5][3987.5,4012.5][4012.5,4037.5]频数2481510概率0.03440.09770.18770.24530.2186区间[4037.5,4062.5][4062.5,4087.5][4087.5,4112.5][4112.5,4137.5]频数4021概率0.13120.05570.01570.0035从以上表格中计算得到：μ=4005，s2=39.822。利用拟合优度χ2检验法，把员工的月加工历史水平划分为上述9个区间，建立如下假设检验（取α=5%）：设计算出检验-统计量的样本值:上式中n为样本容量，即n=46；vi是样本在各区间对应的频数；pi是在H0成立时样本落在各区间的概率，经换算可由标准正态分布表查得。vi和pi值可在上表中查得。故接受H0，认为员工的月加工水平符合正态分布的,即企业的假设合理。按照此方式还可以得出两类员工的月加工水平均服从正态分布的结论（计算过程中注意相应参数取值不尽相同），在此不再赘述。2.两类正态总体的层次差异探讨。关于新的工资核算方案针对不同员工是否有统一形式，在一定程度上依赖于两类工人的月加工水平有无明显差异。两类工人的月加工水平应视为两个不同层次的总体。不妨假设老员工的月加工工件数，新员工的月加工工件数，且X1与X2相互独立。由表格数据可知两个分布中的μ值差异不大，故只需判断和有无明显差异。做出假设H0：，H1：（取α=5%）。检验统计量：而故接受原假设，即。所以两类员工的月加工能力的正态分布模型无明显差别。四、新的工资核算方案模型旧的工资核算标准模型为线性模型，主要存在两个缺陷：在一定生产水平之后，该线性标准的激励作用不大；统一形式的线性核算标准不能适当照顾老员工。为克服上述缺陷，拟定新的工资核算标准模型y(x)应具有如下性质：在月加工平均水平之后，工资y是生产件数x的非线性单增函数；对于两类员工，y具有不同的数学表达形式。本文考虑在员工的月生产能力平均水平之后，把y(x)设定为关于x的某个低次多项式函数（本文中取三次多项式），y1=y2+c(x＞0)。通过查阅参考文献[1]：在新的方法下，老员工的月工资期望值应该比原来的多100元左右比较合适；新员工的月工资期望值应该比原来的多50元左右比较合适。那么新的工资核算方案模型可以用下式表达：老员工工资核算方式（y=y1）：新员工工资核算方式(y=y2)：基于重庆市的工人的工资水平和公司的盈利水平，可以确定一个合适的α值：记f(x)为两类员工月加工能力的概率密度函数,该新工资核算标准的合理性体现在以下两方面：1.一定条件下的非线性工资核算方法对所有员工的激励作用较原来明显；2.工人的工资增长期望值为50元/月或100元/月，对公司造成的经济负担不大；3.采用对老员工给予龄工奖50元/月的方式，工厂达到了照顾老员工的目的，也不至于打击新员工积极性。参考文献:[1]《车间计件工资制度方案》.[2]杨虎，刘琼荪，钟波.《概率论与数理统计》.重庆.重庆大学出版社.[3]赵静，但琦.《数学建模与数学实验》.高等教育出版社，施普林格出版社.百科论坛经营管理者　Manager'Journal