【高考数学】对数平均不等式

高中数学资料分享QQ群：464397488对数平均不等式1.定义：设,0,,abab则2lnlnabababab其中lnlnabab被称为对数平均数2.几何解释：反比例函数10fxxx的图象，如图所示，APBCTUKV，MNCDx轴，,0,Aa1,,Paa1,0,,BbQbb,1,,Tabab作fx在点2,2abKab处的切线分别与,APBQ交于,EF，根据左图可知，因为ABNMABQPABFESSS=矩形曲边梯形梯形，所以()12lnln,badxbabaxab=--+ò①又1lnlnabAUTPaSdxabax==-ò曲边梯形，()11lnln22ABQPbaS=-=曲边梯形，()11111222AUTPABCDbaSabaSaabab骣-÷ç=+-=?÷ç÷÷ç桫梯形梯形，根据右图可知，AUTPAUTPSS曲边梯形梯形，所以lnlnbabaab--，②高中数学资料分享QQ群：464397488另外，ABQXABYPABQPABQPSSSS矩形矩形曲边梯形梯形，可得：()()()11111lnln,2babababababa骣÷ç--+--÷ç÷ç桫③综上，结合重要不等式可知：()()()()211111lnln2bababababababababaab骣--÷ç--+--÷ç÷ç桫+，即()20112lnlnabbababababaab+--+.④等价变形：)0.()(2lnlnbabababa)0.(lnlnbaabbaba3.典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．（一）()0lnlnbabaaba--的应用例1（2014年陕西）设函数)1ln()(xxf，()()gxxfx其中()fx是)(xf的导函数．（1）（2）（略）（3）设Nn，比较12gggn与nfn的大小，并加以证明．解析（3）因为1xgxx，所以1211112231231ngggnnnn，而ln1nfnnn，因此，比较12gggn与nfn的大小，即只需比较113121n与ln1n的大小即可．根据0ba时，lnlnbabba--，即()1lnln,babab--高中数学资料分享QQ群：464397488令,1,anbn==+则()1ln1ln,1nnn+-+所以1ln2ln1ln22，1ln3ln23，1,ln(1)ln1nnn，将以上各不等式左右两边相加得：111ln1231nn，故12gggnnfn.评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0ba时，lnlnbaaba--，即()1lnln,babaa--令,1,anbn==+则()1ln1ln,nnn+-可得：()111ln1123nn+++++L.（二）()2202lnlnabbababa+--的应用例2设数列na的通项111nann，其前n项的和为nS，证明：ln1nSn．解析根据0ba时，222lnlnabbaba+--，即()222lnlnbabaab--+，令1,,bnan=+=则()()222ln1ln1nnnn+-++22221nn=++22222nann++，易证ln1nSn．（三）()02lnlnabbababa+--的应用例3.设数列na的通项111123nan，证明：ln21nan．解析根据0ba时，2lnlnabbaba+--，即()2lnlnbabaab--+，高中数学资料分享QQ群：464397488令21,21,bnan=+=-则()()1ln21ln21nnn+--，易证ln21nan．（四）()2011lnlnbababaab--+的应用例4.（2010年湖北）已知函数()()0bfxaxcax=++的图象在点()()1,1f处的切线方程为1yx=-．（1）用a表示出,bc；（2）（略）（3）证明：()()()1111ln11.2321nnnnn++++++?+L解析（1）1,12baca=-=-；（3）当0ba时，211lnlnbabaab--+，即()111lnln2babaab骣÷ç-+-÷ç÷ç桫，令,1,anbn==+则()111ln1ln,21nnnn骣÷ç+-+÷ç÷ç桫+所以111ln2ln1,212骣÷ç-+÷ç÷ç桫111ln3ln2,223骣÷ç-+÷ç÷ç桫L，()111ln1ln,21nnnn骣÷ç+-+÷ç÷ç桫+将以上各不等式左右两边分别相加得：()()111111ln1,223421nnn骣÷ç+++++++÷ç÷ç桫+L即()()111111ln11,234212nnn+++++++-+L故()()1111ln1.2321nnnn+++++++L（五）()0lnlnbaabbaba--的应用高中数学资料分享QQ群：464397488例5.（2014福建预赛）已知1()ln(1)311fxaxxx．（1）（略）（2）求证：222223411ln21411421431414nnn对一切正整数n均成立．解析（2）根据0ba时，lnlnbaabba--，即lnln,babaab--令21,21,bnan=+=-则()()22ln21ln21,41nnn+---变形可得：()()2222111142ln21ln21,4414141nnnnnnn-+轾+--=臌---则()212ln3ln1,4411-?()213ln5ln3,,4421-?L()()211ln21ln21,441nnnn+轾+--臌-将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414nnn对一切正整数n均成立．评注本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值2a时，12ln(1)3101xxx,即1312ln11xxx，结合待证不等式的特征，令2*21xkNk，得122312ln(1)22121121kkk，整理得：288212ln4121kkkk，即211ln21ln21414kkkk,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.强化训练1.（2012年天津）已知函数ln0fxxxaa的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：12ln212*.21ninnNi高中数学资料分享QQ群：464397488解析（3）易求1a，待证不等式等价于2222ln2135721nn．根据0ba时，lnlnbabba--，即()1lnln,babab--令21,21,anbn=-=+则()()()22ln21ln21,21121nnnn=+--+-+2ln3ln1,3-2ln5ln3,5-2ln7ln5,,7-L()()()2ln21ln21,211nnn+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：22222ln213572121nnn，122ln21222121ninin.得证.2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数1ln11xxfxxx．（1）若0x时,0,fx求的最小值；（2）设数列na的通项111123nan，证明：21ln24nnaan．解析（1）易得221200,(1)xxffxx．令0,fx则120,,xx若0，则当0x时，0,fxfx是增函数，00,fxf不符合题意；若102，则当120x时，0,fxfx是增函数，00,fxf不符合题意；若12，则当0x时，0,fxfx是减函数，00,fxf符合高中数学资料分享QQ群：464397488题意；综上，的最小值是12．（2)当0ba时，211lnlnbabaab--+，即()111lnln2babaab骣÷ç-+-÷ç÷ç桫，令,1,anbn==+则()111ln1ln,21nnnn骣÷ç+-+÷ç÷ç桫+所以()111ln1ln,21nnnn骣÷ç+-+÷ç÷ç桫+()()111ln2ln1,212nnnn骣÷ç+-++÷ç÷ç桫++()()111ln3ln2,223nnnn骣÷ç+-++÷ç÷ç桫++L()111ln2ln21,2212nnnn骣÷ç--+÷ç÷ç桫-将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln2ln,2123212nnnnnnnn骣÷ç-++++++÷ç÷ç桫+++-L即111111ln2,2123214nnnnnn骣÷ç++++++÷ç÷ç桫+++-L故1111ln21224nnnn．评注本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值12时，2ln1022xxxxx加以赋值，并进行变形，令1xk，有121111ln12121kkkkkk，亦即111ln1ln21kkkk达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.