2018考研数学二真题及解析

WORD资料.可编辑专业技术.整理分享2017年考研数学二真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则（A）12ab（B）12ab（C）0ab（D）2ab【详解】00011cos12lim()limlim2xxxxxfxaxaxa，0lim()(0)xfxbf，要使函数在0x处连续，必须满足1122baba．所以应该选（A）2．设二阶可导函数()fx满足(1)(1)1ff，(0)1f，且()0fx，则（）（A）11()0fxdx（B）11()0fxdx（C）0110()()fxdxfxdx（D）0110()()fxdxfxdx【详解】注意到条件()0fx，则知道曲线()fx在1,0,0,1上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当1,0x时，()21fxx，当0,1x时，()21fxx，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以101110()(21)(21)0fxdxxdxxdx．所以选择（B）．当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2()21fxx，此时011011(),()33fxdxfxdx，可判断出选项（A），（C），（D）都是错误的，当然选择（B）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧．3．设数列nx收敛，则（A）当limsin0nnx时，lim0nnx（B）当lim()0nnnxx时，lim0nnx(C）当2lim()0nnnxx时，lim0nnx（D）当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D）是正确的．其实此题注意，设limnnxA，则22limsinsin,lim(),lim(),lim(sin)sinnnnnnnnnnnnxAxxAAxxAAxxAA分别解方程2sin0,0,0,sin0AAAAAAA时，发现只有第四个方程sin0AA有唯WORD资料.可编辑专业技术.整理分享一解0A，也就是得到lim0nnx．４．微分方程2489(1cos2)xyyex的特解可设为*y（）（A）22(cos2sin2)xxAeeBxCx（B）22(cos2sin2)xxAxexeBxCx（C）22(cos2sin2)xxAexeBxCx（D）22(cos2sin2)xxAxexeBxCx【详解】微分方程的特征方程为2480rr，有一对共轭的复数根22ri．所以12不是特征方程的根，所以对应方程2489xyye的特解应该设为21*xyAe；而222i是方程的单根，所以对应方程2489cos2xyyex的特解应该设为22*(cos2sin2)xyxeBxCx；从而微分方程2489(1cos2)xyyex的特解可设为2212***(cos2sin2)xxyyyAexeBxCx，应该选（C）．5．设(,)fxy具有一阶偏导数，且对任意的(,)xy都有(,)(,)0,0fxyfxyxy，则（）（A）(0,0)(1,0)ff（B）(0,0)(1,1)ff（C）(0,1)(1,0)ff（D）(0,1)(1,0)ff【详解】由条件对任意的(,)xy都有(,)(,)0,0fxyfxyxy可知(,)fxy对于x是单调增加的，对y就单调减少的．所以(1,1)(1,0)(0,0),(1,1)(0,1)(0,0),(0,1)(0,0)(1,0)fffffffff，只有第三个不等式可得正确结论（D），应该选（D）．6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()vvt（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()vvt（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t，则（）（A）010t（B）01520t（C）025t（D）025t【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()TTStvtdt表示时刻12,TT内所走的路程．本题中的阴影面积123,,SSS分别表示在时间段0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t时乙追上甲，应该选（C）．WORD资料.可编辑专业技术.整理分享7．设A为三阶矩阵，123,,P为可逆矩阵，使得1000010002PAP，则123()A（）（A）12（B）232（C）23（D）132【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知12312323000000(,,)010,,0100,,2002002AAPP所以12312323()2AAAA，所以可知选择（B）．8．已知矩阵200021001A，210020001B，100020002C，则（A）,AC相似，,BC相似（B）,AC相似，,BC不相似（C）,AC不相似，,BC相似（D）,AC不相似，,BC不相似【详解】矩阵,AB的特征值都是1232,1．是否可对解化，只需要关心2的情况．对于矩阵A，0002001001EA，秩等于1，也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~AC．对于矩阵B，0102000001EB，秩等于2，也就是矩阵A属于特征值2只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,BC不相似故选择（B）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．曲线2(1arcsin)yxx的斜渐近线为．解：2(1arcsin)limlim1xxxyxxx，2lim()limarcsin2xxyxxx，所以斜渐近线为2yx．10．设函数()yyx由参数方程sintxteyt确定，则202|tdydx．WORD资料.可编辑专业技术.整理分享【详解】223cos1cos(1)sincos,1(1)ttttttdedytdyetetdtdxdxedxedt，所以2021|8tdydx．1120ln(1)(1)xdxx.【详解】022000ln(1)1ln(1)1ln(1)|1(1)11(1)xxdxxddxxxxx12．设函数(,)fxy具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydfxyyedxxyedy，(0,0)0f，则(,)fxy【详解】(,)(1)()yyydfxyyedxxyedydxye，所以(,)yfxyxyeC，由(0,0)0f，得0C，所以(,)yfxyxye．13．110tanyxdydxx．【详解】交换二重积分的积分次序得：1111100000tantantanlncoslncos1.xyxxdydxdxdyxdxxxx14．设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112，则a．【详解】根据特征向量的定义，有412111121132311222Aaa，解得1a．三、解答题15．（本题满分10分）求极限030limxtxxtedtx【详解】令xtu，则,txudtdu，00xxtxuxtedtuedu00033300002limlimlimlim332xxxtxuuxxxxxxtedteueduueduxexxxx16．（本题满分10分）WORD资料.可编辑专业技术.整理分享设函数(,)fuv具有二阶连续偏导数，(,cos)xyfex，求0|xdydx，202|xdydx．【详解】12(,cos)(,cos)(sin)xxxdyfexefexxdx，01|(1,1)xdyfdx；2111122222122(,cos)((,cos)sin(,cos))cos(,cos)sin(,cos)sin(,cos)xxxxxxxxxxdyefexefexexfexxfexdxxefexxfex2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xdyfffdx．17．（本题满分10分）求21limln1nnkkknn【详解】由定积分的定义120111201limln1limln1ln(1)11ln(1)24nnnnkkkkkkxxdxnnnnnxdx18．（本题满分10分）已知函数()yx是由方程333320xyxy．【详解】在方程两边同时对x求导，得2233330xyyy（1）在（1）两边同时对x求导，得2222()0xyyyyy也就是222(())1xyyyy令0y，得1x．当11x时，11y；当21x时，20y当11x时，0y，10y，函数()yyx取极大值11y；当21x时，0y，10y函数()yyx取极小值20y．19．（本题满分10分）设函数()fx在区间0,1上具有二阶导数，且(1)0f，0()lim0xfxx，证明：WORD资料.可编辑专业技术.整理分享（1）方程()0fx在区间0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()(())0fxfxfx在区间0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim0xfxx可知，存在01，及1(0,)x，使得1()0fx，由于()fx在1,1x上连续，且1()(1)0fxf，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x，使得()0f，也就是方程()0fx在区间0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim0xfxx可知(0)0f，由（1）可知()0f，由洛尔定理，存在(0,)，使得()0f；设()()()Fxfxfx，由条件可知()Fx在区间0,1上可导，且(0)0,()0,()0FFF，分别在区间0,,,上对函数()Fx使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),使得1212,()()0FF，也就是方程2()()(())0fxfxfx在区间0,1内至少存在两个不同实根．20．（本题满分11分）已知平面区域22(,)|2Dxyxyy，计算二重积分2(1)Dxd【详解】由于积分区域关于y轴左右对称，所以由二重积分对称性可知20Dxd．所以2sin222200442204620(1)(1)(cos1)2sincos2sin4(4sin4sin2sin)54DDxdxddrrdrdd