2.6-幂函数讲义

刘芳科老师2.4幂函数一．要点精讲1.函数xy（R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理数的情况）．幂函数xy（a是有理数）的定义域：(1)当a为正整数时，(2)当a为零或负整数时，x∈R，x≠0；（3）当a为正分数pq或负分数pq（是互质的正整数，1q）时，xa的意义分别是qpx或1qpx，幂函数的定义域分别是使qpx或1qpx有意义的实数x的集合．2.幂的四种运算法则：aaaaaababmnmnmnmnmmm·，，·()()aaamnmn（amn0，、为正整数，mn)3．幂函数的性质：y＝xa(a为有理数)(1)当a＞0时：①图象都通过（0，0）、（1，1）点；②在第一象限内是增函数,在第一象限内，α1时，图像开口向上；0α1时，图像开口向右；(2)当a＜0时：①图象都过（1，1）点；②在第一象限内是减函数；③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．刘芳科老师(3)当α=0时，幂函数y=x^a有下列性质：y=x0是直线y=1去掉一点（0,1）它的图像不是直线。(4)幂函数yx的图象，在第一象限内，直线1x的右侧，图象由下至上，指数由小到大.y轴和直线1x之间，图象由上至下，指数由小到大。作图时先分类、简化，再根据函数的性质、容易定的点、奇偶性、区域单调性、以及移位特点等来定型。4.幂函数的图象幂函数中，当121321a，，，，时性质如下表所示：函数特征性质y=xyx2yx3yx12yx1定义域RRR[0，）{|}xx0值域R[0，）R[0，）{|}yy0x[)0，增x()0，增单调性增x(]，0减增增x()，0减所过定点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）结合以上特征，得幂函数的性质如下：（1）所有的幂函数在()0，都有定义，并且图象都通过点（1，1）；（2）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数；（3）如果a0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间)0[，上是增函数；（4）如果a0，则幂函数在区间()0，上是减函数幂函数的图象增减特性：①当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数②当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数刘芳科老师③当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)④当0a1时，函数是增函数⑤当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数⑥当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数幂函数的图像不过第四象限5特殊性：（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0)a0时图象过点（0，0）和（1，1）（2）单调区间：当a为整数时，a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：①当a为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；刘芳科老师②当a为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；③当a为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。特殊性（2）：幂函数的单调区间当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：①当a0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；②当a0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增；③当a0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；④当a0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；幂函数的单调区间（当a为分数时）（3）当a1时，幂函数图形下凸（竖抛）；当0a1时，幂函数图形上凸（横抛）。当a0时，图像为双曲线。（4）在（0,1）上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。（5）当a0时，a越小，图形倾斜程度越大。（6）显然幂函数无界限。（7）a=2n,该函数为偶函数{x|x≠0}。刘芳科老师幂函数复习重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数12321,,,,yxyxyxyyxx的图像，了解他们的变化情况．知识梳理：1.幂函数的基本形式是yx，其中x是自变量，是常数.要求掌握yx，2yx，3yx，1/2yx，1yx这五个常用幂函数的图象.2.观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0时，图象过定点；在(0,)上是函数.（2）当0时，图象过定点；在(0,)上是函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3.幂函数yx的图象，在第一象限内，直线1x的右侧，图象由下至上，指数.y轴和直线1x之间，图象由上至下，指数.诊断练习：1．如果幂函数()fxx的图象经过点2(2,)2，则(4)f的值等于2．函数y＝（x2－2x）21－的定义域是3．函数y＝52x的单调递减区间为4．函数y＝221mmx－－在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．范例分析：例1比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1；（2）（－22）32，（－107）32，1.134；（3）3.832，3.952，（－1.8）53；（4）31.4，51.5.刘芳科老师例2已知幂函数6()myxmZ与2()myxmZ的图象都与x、y轴都没有公共点，且2()myxmZ的图象关于y轴对称，求m的值．例3幂函数273235()(1)ttfxttx是偶函数，且在(0,)上为增函数，求函数解析式.反馈练习：1．幂函数()yfx的图象过点1(4,)2，则(8)f的值为.2．比较下列各组数的大小：32(2)a32a；223(5)a235；0.50.40.40.5.3．幂函数的图象过点(2,14),则它的单调递增区间是．4．设x∈(0,1)，幂函数y＝ax的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是．5．函数y＝34x在区间上是减函数．6．一个幂函数y＝f(x)的图象过点(3,427),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8,－2),(1)求这两个幂函数的解析式；（2）判断这两个函数的奇偶性；（3）作出这两个函数的图象，观察得f(x)g(x)的解集.刘芳科老师巩固练习1．用“”或””连结下列各式：0.60.320.50.320.50.34，0.40.80.40.6．2．函数1322(1)(4)yxx的定义域是3．942aaxy是偶函数，且在),0(是减函数，则整数a的值是.4．已知3532xx，x的取值范围为5．若幂函数ayx的图象在0x1时位于直线y=x的下方，则实数a的取值范围是6．若幂函数()fx与函数g(x)的图像关于直线y=x对称，且函数g(x)的图象经过3(33,)3,则()fx的表达式为7.函数2()3xfxx的对称中心是，在区间是函数（填“增、减”）8．比较下列各组中两个值的大小33221.31.30.30.35533(1)1.51.6(2)0.60.7(3)3.55.3(4)0.18.15与与与与09．若3131)23()2(aa，求a的取值范围。10．已知函数y＝42215xx－－．刘芳科老师（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．诊断练习：1。122。（－∞，0）（2，＋∞）3。（－∞，0）4。-1例1解：（1）∵所给的三个数之中1.531和1.731的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.531、1.731、1的大小就是比较1.531、1.731、131的大小，也就是比较函数y=x31中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x31的单调性即可，又函数y=x31在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.731＞1.531＞1．（2）（－22）32=（22）32，（－107）32=（710）32，1.134=［（1.1）2］32=1.2132．∵幂函数y=x32在（0，+∞）上单调递减，且710＜22＜1.21，∴（710）32＞（22）32＞1.2132，即（－107）32＞（－22）32＞1.134．（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.832＜1，3.952＞1，（－1.8）53＜0，从而可以比较出它们的大小．（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5．例2解：∵幂函数图象与x、y轴都没有公共点，∴6020mm，解得26m.又∵2()myxmZ的图象关于y轴对称，∴2m为偶数，即得4m.例3解：∵()fx是幂函数，∴311tt，解得1,10t或.当0t时，75()fxx是奇函数，不合题意；当1t时；25()fxx是偶函数，在(0,)上为增函数；当1t时；85()fxx是偶函数，在(0,)上为增函数.所以，25()fxx或85()fxx.反馈1。242。.,≤,,3。(－∞,0);4.(－∞,1);5.（0，＋∞）;6．（1）设f(x)＝xa,将x＝3,y＝427代入，得a＝43,34()fxx；刘芳科老师设g(x)＝xb,将x＝－8,y＝－2代入，得b＝31,13()gxx；（2）f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；g(x)是奇函数；（3）(0,1)巩固练习：1．0.60.50.50.320.320.34，22550.80.62．[1,4)提示：0401xx41x。3．5提示：∵942aaxy是偶函数，且在),0(是减函数，为负整数）kkaa(2942，当2k时，解得5a。4．),1()0,(提示：函数y=32x与y=53x的定义域都是R，y=32x的图象分布在第一、第二象限，y=53x的图象分布在第一、第三象限，所以当x)0,(时，32x＞53x，当x=0时，显然不适合不等式；当x),0(时，32x＞0，53x＞0，由11515332xxx知x＞1。即x＞1时，32x＞53x。综上讨论，x的取值范围是),1()0,(。5．a1函数ayx的图象在0x1时位于直线y=x的下方，说明函数的图象下凸，所以1a.6．3()fxx因为函数g(x)的图象经过3(33,)3，所以函数f(x)的图象就经过点)33,33(7.（-3，1）(-∞，-3)；（-3，+∞）增提示：2()3xfxx=311313xxx.8．解析:3335553355(1)1.51.61.51.6301.51.61.51.65与可看作幂函数y＝X在与处的函数值，且，由幂函数单调性知：1.31.31.31.31.3(2)0.6.7.6.700.70.6.7与0可看作幂函数y＝X在0与0处的函数值，且1.3，0.6由幂函数单调性知：0刘芳科老师22222(3)3.5.3.5.3203.5.3333333与5可看作幂函数y＝X在3与5处的函数值，且-，3.55.3由幂函数单调性知：50.30.30.30.30.3(4)0.1800.18与0.15可看作幂函数y＝X在0.18与0.15处的函数值，且-0.3，0.180.15由幂函数单调性知：0.159．解析：∵3131)23()2(aa，据y=31x的性质及定义域0,xRxx，有三种情况：aaaa23202302或02302aa或aaaa23202302，解得)23,31