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*-第一章函数极限与连续一、填空题1、已知xxfcos1)2(sin,则)(cosxf。2、)1()34(lim22xxxx。3、0x时,xxsintan是x的阶无穷小。4、01sinlim0xxkx成立的k为。5、xexxarctanlim。6、0,0,1)(xbxxexfx在0x处连续,则b。7、xxx6)13ln(lim0。8、设)(xf的定义域是]1,0[,则)(lnxf的定义域是__________。9、函数)2ln(1xy的反函数为_________。10、设a是非零常数,则________)(limxxaxax。11、已知当0x时,1)1(312ax与1cosx是等价无穷小,则常数________a。12、函数xxxf13arcsin)(的定义域是__________。13、22lim(22)____________xxx。14、设8)2(limxxaxax,则a________。15、)2)(1(limnnnnn=____________。二、选择题1、设)(),(xgxf是],[ll上的偶函数,)(xh是],[ll上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。(A))()(xgxf;(B))()(xhxf;(C))]()()[(xhxgxf;(D))()()(xhxgxf。2、xxx11)(,31)(xx,则当1x时有。(A)是比高阶的无穷小;(B)是比低阶的无穷小;(C)与是同阶无穷小;(D)~。3、函数0)1(0,1111)(3xkxxxxxf在0x处连续,则k。(A)23;(B)32;(C)1;(D)0。4、数列极限]ln)1[ln(limnnnn。(A)1;(B)1;(C);(D)不存在但非。5、01cos000sin)(xxxxxxxxxf,则0x是)(xf的。*-(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)振荡间断点。6、以下各项中)(xf和)(xg相同的是()(A)2lg)(xxf,xxglg2)(;(B)xxf)(,2)(xxg;(C)334)(xxxf,31)(xxxg;(D)1)(xf,xxxg22tansec)(。7、||sinlim0xxx=()(A)1;(B)-1;(C)0;(D)不存在。8、xxx10)1(lim()(A)1;(B)-1;(C)e;(D)1e。9、)(xf在0x的某一去心邻域内有界是)(lim0xfxx存在的()(A)充分必要条件;(B)充分条件;(C)必要条件;(D)既不充分也不必要条件.10、)1(lim2xxxx()(A)1;(B)2;(C)21;(D)0。11、设}{},{},{nnncba均为非负数列,且nnnnnncbalim,1lim,0lim,则必有()(A)nnba对任意n成立;(B)nncb对任意n成立;(C)极限nnncalim不存在;(D)极限nnncblim不存在。12、当1x时,函数11211xexx的极限()(A)等于2;(B)等于0;(C)为;(D)不存在但不为。三、计算解答1、计算下列极限(1)12sin2limnnnx;(2)xxxxcotcsclim0;(3))1(lim1xxex;(4)xxxx31212lim;(5)1coscos21cos2cos8lim223xxxxx;(6)xxxxxxtancossin1lim0;(7))1(1321211limnnn;(8)32324arctan)21ln(limxxx。3、试确定ba,之值,使2111lim2baxxxx。4、利用极限存在准则求极限(1)nnnn13121111131211lim。(2)设01ax,且),2,1(1naxxnn,证明nnxlim存在,并求此极限值。5、讨论函数xxxxnnnnnxflim)(的连续性,若有间断点,指出其类型。6、设)(xf在],[ba上连续,且bxfa)(,证明在),(ba内至少有一点,使)(f。*-第一单元函数极限与连续习题解答一、填空题1、x2sin2。2sin22)2sin21(1)2(sin22xxxf,222)(xxfxxxf22sin2cos22)(cos。2、0。016249lim)1()34(lim3222xxxxxxxxx。3、高阶。0)cos1(lim)cos1(tanlimsintanlim000xxxxxxxxxx,xxsintan是x的高阶无穷小。4、0k。x1sin为有界函数,所以要使01sinlim0xxkx,只要0lim0kxx,即0k。5、0。0arctanlimxexx))2,2(arctan,0lim(xexx。6、2b。bbxxfxx)(lim)(lim00,2)1(lim)(lim00xxxexf,,)0(bf2b。7、212163lim6)13ln(lim00xxxxxx。8、ex1根据题意要求1ln0x,所以ex1。9、21xey)2ln()1(),2ln(1xyxy,12yex,21yex,)2ln(1xy的反函数为21xey。10、ae2原式=aaaxxaaxxeaxa222)21(lim。11、23a由231231~1)1(axax(利用教材P58(1)1axax)与221~1cosxx,以及1322131lim1cos1)1(lim2203120axaxxaxxx,可得23a。12、2141x由反三角函数的定义域要求可得011131xxx解不等式组可得12141xx,)(xf的定义域为2141x。13、022222222(22)(22)lim22lim22xxxxxxxxxx22222(2)lim022xxxxx。14、2ln23lim()lim(1)xxxxxaaxaxa,令t=3xaa,所以x=3ata*-即:3211lim()lim[(1)](1)xtaaxtxaxatt=38ae2ln32ln8ln318ln33aa。15、2)2(2)1(lim)2)(1(limnnnnnnnnnn2121)111(2limnnn。二、选择题1、选(D)令)()()()(xhxgxfxF,由)(),(xgxf是],[ll上的偶函数,)(xh是],[ll上的奇函数,)()()()()()()()(xFxhxgxfxhxgxfxF。2、选(C)])1(11)[1(1lim)1)(1(1lim)()(lim31311xxxxxxxxxxx23)1(31)1(1lim1xxxx(利用教材P58(1)1axax)3、选(A)233121lim1111lim)(lim0300xxxxxfxxx(利用教材P58(1)1axax)4、选(B)1lim[ln(1)ln]limln(1)1nnnnnnn5、选(C)1)0(f,0)0(f,0)0(f6、选(C)在(A)中2ln)(xxf的定义域为0x,而xxgln2)(的定义域为0x,)()(xgxf故不正确在(B)xxf)(的值域为),(,2)(xxg的值域为0x,故错在(D)中1)(xf的定义域为R,xxxgtansec)(2的定义域为}2,{kxRx,)()(xgxf,故错7、选(D)1sinlim||sinlim00xxxxxx,1sinlim||sinlim00xxxxxx||sinlim0xxx不存在8、选(D)1)1(1010)](1[lim)1(limexxxxxx,9、选(C)由函数极限的局部有界性定理知,)(lim0xfxx存在,则必有0x的某一去心邻域使)(xf有界,而)(xf在0x的某一去心邻域有界不一定有)(lim0xfxx存在,例如xx1sinlim0,函数11sin1x有界,但在0x点极限不存在10、选(C)(22222(1)(1)lim(1)limlim11xxxxxxxxxxxxxxxx*-211111lim2xx11、选(D)(A)、(B)显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n充分大时”的情况,不可能得出“对任意n成立”的性质。(C)也明显不对,因为“无穷小·无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在。12、选(D)002)1(lim11lim1111121xxxxexexx1111121)1(lim11limxxxxexexx当1x时函数没有极限,也不是。三、计算解答1、计算下列极限:(1)解:xxxnnnnnn222lim2sin2lim11。(2)解:2200001coscsccot1cos1sinsin2limlimlimlimsin2xxxxxxxxxxxxxxxx。(3)解:11lim)1(lim1xxexxxx。(4)解:3212133])2111[(lim)1221(lim)1212(limxxxxxxxxxx。113332211[lim(1)][lim(1)]1122xxxexx(5)解:)1)(cos1cos2()1cos4)(1cos2(lim1coscos21cos2cos8lim3223xxxxxxxxxx212112141cos1cos4lim3xxx。(6)解:)cossin1(tancossin1limtancossin1lim00xxxxxxxxxxxxxxx2020202cos1lim2sinlim2cos1sinlimxxxxxxxxxxxx434121。0lim(1sincos)2xxxx(7)解:])1(1321211[limnnx)]111()3121()211[(limnnx1)111(limnx。(8)解:33123232323241)21(lim42lim4arctan)21ln(limxxxxxxxx。*-3、解:1)(1lim)11(lim222xbxbaaxxbaxxxxx211)1()()1(lim2xbxbaxax21)(01baa231ba4、(1)1111211111312111nnnn而1111limnx113121111131211li
本文标题:《微积分》各章习题集及其详细规范标准答案
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