八种典型岩石力学流变模型的教学研究

收稿日期：2011-4-20基金项目：湖南省优秀教学团队项目资助；湖南省大学生研究性学习和创新性实验计划项目资助（KDSC1001）作者简介：朱卓慧（1982.07—），男，湖南岳阳人，讲师，中南大学博士研究生。主要研究方向为岩石力学和软岩巷道支护等。Tel：[phone]，Email:[e-mail]八种典型岩石力学流变组合模型的教学研究朱卓慧1,2,赵延林1,徐燕飞1,孙小康1(1.湖南科技大学能源与安全工程学院,湘潭411201;2.湖南科技大学煤矿安全开采技术湖南省重点实验室,湘潭411201)摘要：岩石流变模型的学习和研究不仅在教学研究中具有重要意义，而且在工程应用中也具有指导意义.文章通过对岩石流变模型进行讨论，介绍了岩石流变模型本构方程和蠕变方程的推导过程以及八种典型的岩石力学模型、本构方程、蠕变曲线、松弛曲线及其特性，了解各个流变模型所适用的范围，并通过对八种岩石流变模型比较，加深对岩石流变模型的认识和了解。关键词：岩石；流变模型；蠕变；流变性质中图分类号：G4文献标识码：A文章编号：岩石是一种具有流变特性的地质体[1]，其流变特性是指岩石矿物结构(骨架)随时间增长而不断调整重组，导致其应力、应变状态亦随时间而持续地增长变化[2]。其主要包括蠕变、松弛和弹性后效[3]。岩石的流变是一个十分复杂的物理力学过程，为了较直观地将其表示出来，往往采用简单的机械元件及其不同组合，模拟岩石的流变行为，这种机械元件的组合就是岩石的流变模型[4]。一研究流变模型的意义流变模型概念清楚，有助于认识岩石的弹性及塑性等各种分量。此外，流变模型不但可以探讨岩石模型数学表达式中各参数的物理意义，而且还有利于认识岩石流变的本质规律[4]。在工程应用中，岩石流变模型的研究也具有重要作用。岩石流变是岩土工程围岩变形失稳的重要原因之一。因此，开展岩石流变性研究，深入了解岩石流变破坏过程的规律，在矿山、道路交通、水利水电、民用建筑、核能工程等领域的岩土工程建设中具有十分重大的经济现实意义[5]。二八种典型的岩石流变模型及其性质在流变学中，所有的流变模型均可由三个基本元件组合而成，它们分别是弹性元件（H）、粘性元件（N）和塑性元件（Y）。在工程实际中，客观存在的岩石性质都不是单一的，通常表现出复杂的特性，为此，必须对三种元件进行组合，才能准确地描述岩石的特性。三种元件的组合可形成粘弹性、粘弹塑性、粘性和粘塑性4种与时间有关的模型，称之为基本流变力学模型，对应于岩石的4种基本流变力学性态(对不随时间变化的瞬时变形部分不作分析)[6]。取四种基本流变力学模型中的1至4个串联可得到15个流变力学模型(包括4个基本流变力学模型和11个复合流变力学模型)，即理论流变力学模型所能描述的15种流变性态[6]。本文对八种常用的典型的流变模型进行讨论，介绍其力学模型、本构方程、蠕变曲线、松弛曲线及其简单的性质，了解各个流变模型所适用的范围，并通过对八种岩石流变模型比较，加深对岩石流变模型的认识和了解。σση,ε2k,ε1（一）粘性模型马克斯威尔（Maxwell）体马克斯威尔体的力学模型由一个弹性元件和一个粘性元件串联而成，其力学模型如图1所示。图1马克斯威尔体力学模岩石本构关系是指岩石的应力或应力速率与其应变或应变速率的关系[3]，反映岩石本构关系的方程即为岩石的本构方程。通过岩石的本构关系可以反映岩石的性质，对理论研究和工程实践都具有重要意义。不同的岩石，其性质不同，本构方程也不同，但岩石的本构方程可根据其力学模型推导，下面以马克斯威尔体本构方程的推导为例，来说明本构方程的推导过程。根据马克斯威尔体的力学模型有21(1)式中，为模型所受应力；1、2分别为弹性元件和粘性元件所受应力.由串联可得21（2）式中，为模型的总应变；1、2分别为弹性元件和粘性元件的应变.对弹性元件k11（3）式中，1为模型总应变对时间的导数；为模型应力对时间的导数.对粘性元件11（4）式中，为粘性元件的粘性系数.所以本构方程为11k（5）马克斯威尔体在恒定载荷的条件下，,0变形以常速率不断发展。可得马克斯威尔体的蠕变方程为kt001（6）ott1εε=σ/k蠕变曲线弹性后效曲线η,σ2k,σ1σσotεσ0kε0=tσ0σ在恒定变形的条件下，0，随着时间的增加，逐渐减少，即松弛现象。马克斯威尔体的蠕变曲线和松弛曲线分别如图2和图3所示。图2蠕变曲线图3松弛曲线马克斯威尔体具有瞬时变形、定常蠕变、和松弛等性质，无弹性后效现象，属于不稳定蠕变。适用于具有以上性质的深部的粘性岩石。（二）粘弹性模型1开尔文（Kelvin）体这种模型由弹性单元和粘性单元并联而成，如图4所示。图4开尔文体力学模型开尔文体的本构方程为k（7）开尔文体在恒定载荷的条件下，应变随着时间逐渐递减，在t增长到一定值时剪应变就趋于零。在t=1t时卸载，0，此时1，但随着时间增长，应变逐渐减小，当时，应变0。所以开尔文体的蠕变方程为)1(0etkk（8）开尔文体的蠕变曲线和弹性后效曲线如图5所示。图5开尔文体蠕变曲线和弹性后效曲线σσk2,ε2η,ε2k1,ε1oσ0k2σ0k2蠕变曲线弹性后效σ0k1tt1ε开尔文体具有衰减蠕变、弹性后效等性质，无松弛，无瞬时变形性质，属于稳定蠕变模型。它适用于具有衰减蠕变和弹性后效的一般的粘弹性岩石。2广义开尔文（modifiedKelvin）体广义开尔文体由一个开尔文元件和一个弹性元件串联组成，其力学模型如图6所示。图6广义开尔文体力学模型广义开尔文体的本构方程为2121)1(kkkk（9）广义开尔文体在恒定载荷的条件下，其变形由弹性元件和开尔文体两部分组成，弹性元件的瞬时变形为10k，之后开尔文体的应变随着时间逐渐递减，在t增长到一定值时剪应变就趋于零。所以，广义开尔文体的蠕变方程为)1(22010etkkk（10）在t=1t时卸载，0，广义开尔文体有一瞬时回弹，之后变形随着时间增长逐渐恢复到零。故广义开尔文体的蠕变曲线如图7所示。图7广义开尔文体蠕变曲线广义开尔文体具有瞬时变形、衰减蠕变和弹性后效等性质，无松弛性质，属于稳定蠕变。它适用于具有衰减蠕变、瞬时变形、弹性后效性质的粘弹性岩石。3饱依丁—汤姆逊（Poyting-Thomson）体这种模型由一个马克斯威尔体和一个弹性元件并联组成，其力学模型如图8所示。σk2,ε2ηk1,ε1σotεσ0k2σ0k1+k2图8饱依丁-汤姆逊体力学模型饱依丁—汤姆逊体的本构方程为21211)(kkkkk（11）饱依丁—汤姆逊体在恒定载荷的条件下，首先产生瞬时弹性变形2100kk，随着时间的增加，变形不断增加，当t时，20k，故其蠕变方程为)1()(211202121etkkkkkkkk（12）在t=1t时卸载，0，饱依丁—汤姆逊体有一瞬时回弹，之后变形随着时间增长逐渐恢复到零。饱依丁—汤姆逊体的蠕变曲线如图9所示。图9饱依丁-汤姆逊体蠕变曲线饱依丁—汤姆逊体具有瞬时变形、衰减蠕变、弹性后效和松弛等性质，属于稳定蠕变。它适用于具有瞬时变形性质，衰减蠕变、弹性后效和松弛等性质的粘弹性岩石，例如砂岩、页岩、砂质页岩、喷出岩、粘土质板岩等。（三）粘塑性模型1理想粘塑性体这种模型是由一个塑性元件和粘性元件并联组成的，其力学模型如图10所示。otεoεσσs˙σσσ1,σsσ2,ηkη2,σ2,ε2σσs,σ2,ε2σε1图10理想粘塑性体力学模型理想粘塑性体的本构方程为sss,0,当当（13）理想粘塑性体在恒定载荷的条件下，变形随着时间的增加均匀增长，在t=1t时卸载，变形不恢复。其蠕变方程为ts0（14）理想粘弹性图的应力-应变速率关系曲线和蠕变曲线分别如图11和图12所示。图11应力-应变速率关系曲线图12蠕变曲线理想粘塑性体具有松弛、定常蠕变等性质，无瞬时变形性质，无弹性后效现象，属于不稳定蠕变。理想粘塑性体适用于有松弛、等速蠕变性质，但没有瞬时变形和弹性后效的粘塑性岩石。2宾汉姆（Bingham）体这种模型由一个弹性元件和一个理想粘塑性体串联组而成，其力学模型如图13所示。图13宾汉姆体力学模型宾汉姆体的本构方程为η1k2η2σσk1σsoεσ0ktotσsσ0ssskkk时，当时，当,（15）宾汉姆体在恒定载荷条件下，当s时，只有弹性变形；当s时，宾汉姆体具有一瞬时应变，之后随着时间的增加，应变不断增加。所以宾汉姆体的蠕变方程为kts00（16）宾汉姆体的蠕变曲线和松弛曲线分别如图14和图15所示。图14宾汉姆体蠕变曲线图15宾汉姆体松弛曲线宾汉姆体在s时，不发生蠕变，没有松弛性质；当s时，若0，应力随着时间增加而逐渐减小，若0，应变随时间稳定增长。当s，宾汉姆体只有瞬时变形性质，当s时，宾汉姆体具有松弛、定常蠕变等性质，无弹性后效现象，属于不稳定蠕变。宾汉姆体适用于低应力时没有蠕变，具高应力时具有定常蠕变、松弛等性质的粘塑性岩石。（四）粘弹性-粘塑形模型1西原体这种模型由一个弹性元件、开尔文体和理想粘塑性体串联而成，最能全面反映岩石的粘弹性-粘塑性特征，如图2-4-1所示。图16西原体力学模型其本构方程为当s211211)1(kkkk（17）当s12122121112212)()(kkkkkkkks（18）西原体在应力水平较低时，开始变形较快，一段时间后逐渐趋于稳定成为稳定蠕变，在ση1k1k2η2σo蠕变曲线卸载曲线tt1εσ0k2σ0k1(1-e)k1η1t1σ0η2t1σ0k2σ0k1σ0k2+应力水平等于和超过岩石的某一临界值（s）时，逐渐转化为不稳定蠕变。所以西原体的蠕变方程为当s)1(122010etkkk（19）当stkkstke202010)1(12（20）西原体具有瞬时变形、衰减蠕变、定常蠕变弹性后效和松弛性质。它能反映许多岩石的这两种状态，特别适用于反映软岩的流变特性。（五）粘性-粘弹性-粘弹塑性模型1伯格斯(Burgers)体这种模型是由马克斯威尔体与开尔文体串联而成，其力学模型如图17所示。图17伯格斯体力学模型伯格斯体的本构方程为12122121112112)(kkkkkkkk（21）伯格斯体在恒定载荷的条件下，0，伯格斯体的变形由开尔文体和马克斯威尔体的变形组成，故伯格斯体的蠕变方程为)1(11102020etkktk（22）在t=t1时卸载，0，伯格斯体有一瞬时回弹，之后变形随着时间增长逐渐恢复，但变形不会恢复到零。伯格斯体蠕变和卸载曲线如图18所示。图18伯格斯体蠕变和卸载曲线伯格斯体具有瞬时变形、减速蠕变、等速蠕变、松弛等性质，有弹性后效现象，属于不稳定蠕变。伯格斯体适用于具有瞬时变形、减速蠕变、等速蠕变、松弛、有弹性后效等性质的粘性-粘弹性-粘弹塑性岩石，例如石灰岩、页岩、砂页岩、白云岩、大理岩等。三八种岩石流变模型性质的比较八种岩石流变模型反映了粘性、粘弹性、粘塑性、粘弹性-粘塑性、粘性-粘弹性-粘弹塑性五种不同的流变性态，但八种岩石流变模型都是由三种基本的流变元件组成，特别是一些流变模型由两个简单的力学模型或一个力学模型与基本元件或串联或并联组成，它们相互之间存在着许多相似的性质，为了便于学习和研究，文章将它们的力学模型、简单性质及其使用范围进行了简单的总结见下表：表1八种岩石流变模型性质模型名称模型结构模型具有典