切比雪夫滤波器的广义耦合矩阵综合

三、单终端和双终端的耦合矩阵综合根据传输与反射函数综合耦合矩阵的过程与1970年Atiaetal在其开创性论文中确立的过程基本一致【1】—【4】。在本文中这些方法没有详细讲述，只在后文和附录中有粗略的介绍，还可以推广到那些包括非对称情况。单终端情况之所以被包含进来是因为它在邻近通带多路器的设计中的应用，这里有时会用到非对称和对称特性。应用中的一个典型例子是单元通信基站的收发双工器，以便在邻近的可用收发通带间得到非常高的隔离度。单终端和双终端的耦合矩阵综合的起点是传输和反射多项式sFsE,，和jssP，如前所述一般情况，sE的系数将会是复数，sF和sP的系数随着s的增加在实数和纯虚数之间交替变化。sE和sF的次数将会是N，sP的次数与最初指定的有限处零点个数一致。成功的双端口网络综合依赖于无穷大处至少两个传输零点，因此sP的次数不能超过N-2。在这一部分，将会给出来自传输/反射多项式sE，sF，和sP的短路导纳参数1221yy和22y有理多项式综合。这个综合过程与单双终端的情况有点不同，将会单独给出。由21y和22y来综合网络的耦合矩阵的方法略述。A．双终端情况图2（a）是一个双端口无耗滤网络，其右边的电压源内阻1R，右边的负载阻抗NR。网络的输入阻抗与短路和开路参数的关系如【11】。如果NR归一化到1欧姆【图2（b）】同样，如果11R，，则输入阻抗为这里1m，2m，1n和2n分别是来sE和sF的复偶数和复奇数多项式。对于偶数的情况，把(17)式的分子中的1n提到括号外，则通过比较（18）和（16）两式，可以看到显然，21y的分母和22y的一样，21y的分子和sS21有相同的传输零点同理，N为奇数复偶数和复奇数多项式1m和1n用（17）式很容易由sE和sF构造如下因此这里的ie和if，i=0，1，2，3…N是sE和sF的复系数。以上过程确保了1m和1n有实系数。因此sE和sF的最高次项Ns的系数也为实数，sP的次数小于N，22y和21y的共同分母的次数为N，而它们的分子的次数都小于N。B．单终端情况单终端1m和1n的多项式的构造过程与双终端的基本一样。对于单终端情况，源的内阻01R并且导纳参数sY21的短路导纳参数【3】，【11】的式子如下由（15）这里的1m和1n是构成sE的复偶数和复奇数多项式。对于1NR的单终端网络，传输函数sS21等价于传输导纳sY21【11】，通过比较（21），当N为偶数时，可以看到当N为奇数时此时其中210,,eee和前边一样为sE的复系数。注意单终端情况，只需知道，sP和sE，sS21的分子和分母，就可以确定出1m和1n。C．耦合矩阵综合确定了22y和21y的分子和分母后，现在我们有可能进一步来综合网络的耦合矩阵了。通过电路分析，这种原型网络正好可以产生像11s和21s多项式所具有的传输与反射特性。对于对称网络来说，在附录中提到的【1】，【2】和【4】最初所创建的耦合矩阵综合过程几乎不变。四、耦合矩阵的化简三中所述的由综合过程产生的耦合矩阵M，其元素总的来说均为非零值。对于非对称电网络，其耦合矩阵的对角线上的元素为非零值，这代表对于每一腔的中心频率的补偿（异步调谐）。其他位置处的非零值意为M所表示的耦合网络在各个谐振点间均存在耦合，显然这是不现实的。通常会通过一系列的相似变换(有时称为旋转)消去那些耦合值，直到产生一个有着少量耦合值的简单的形式。相似矩阵的使用保证了M矩阵本征值和本征向量不发生变化，在这种分析过程中，变换后的矩阵将产生与初始矩阵相同的传输与反射特性。对于耦合矩阵M,有几种更实际的正交形式。两种易于理解的形式是RCJ形式[8]与更普遍的折叠形式[6]。这两种矩阵均可在以下情况下直接应用：一是如果耦合易于实现；或对于进一步变换的应用易于作为起点，此处进一步的变换可产生一可选择谐振腔相互耦合的拓扑结构，该结构能很好地适用于滤波器将最终实现的物理与电气方面的约束。例如[9][10]。下面将详述这种将耦合矩阵化简为折叠形式的方法。使用类似的方法可推导出RCJ形式。A相似变换与矩阵元素的消去对于一NN耦合矩阵0M的化简，第一步是左乘并右乘NN阶旋转矩阵R及其转置tR，如下：其中0M是初始矩阵，1M是变换后的矩阵，旋转矩阵R的定义见图4。矩阵1M的本征值在变换后与初始矩阵0M的完全相同，这意味着可以使用任意定义的转轴和角度进行任意长的变换。每次变换均可采用以下形式：最终得到的矩阵RM与初始矩阵0M的特性相同。对于耦合矩阵1rM进行相似变换，转轴为ji,旋转角度为r，则得到的变换后的矩阵rM与矩阵1rM将在第i行第j行与第i列第j列发生变化，对于矩阵1rM第i行或列或者第j行或列的第k个元素，其值的变化有下面的公式：其中rrrrscNjiksin,cos,,,3,2,1,，不打撇的矩阵元素属于矩阵1rM，打撇的为rM。将应用于矩阵化简过程中的相似变换的两条性质先做如下注记：1）在变换中，只有转轴ji,所在的i行与列和j行与列上的元素值受到变换的影响，其他元素仍为变换前的数值。2）如果转轴所在的行与列中两相对的元素在变换前都为零，那么，在变换后仍为零。例如，在图5中的23M和25M在以[3,5]为轴的变换前均为零，不论旋转角度为何值，在变换后仍为零。(24)中的等式可用于消去耦合矩阵中的特定元素。例如，消去图5中耦合矩阵中的非零元素15M（同时消去51M），对于转轴[3,5]和角度13151/tanMM的变换可应用于耦合矩阵。[见（24）中最后一个式子k=1，i=3，j=5]。在变换后的矩阵中，15M和51M均为零，在第三行与列和第五行与列中的所有值都发生改变。由第三部分的综合过程得到完全耦合矩阵0M，其化简为折叠矩阵的方法包含一系列对于0M的相似变换，这些变换将一个个地消去矩阵中无法实现的元素。所应用的变换按照一定的顺序和模式，利用上述的两条性质，保证了消去元素的过程中不会因下一步的变换而重新产生。B.化简过程——从完全耦合矩阵到折叠正交形式有多种变换序列可以将完全耦合矩阵化简为折叠形式。文中所用的化简序列是沿行自左向右，沿列自上而下的可选择地消去元素，如图5所示七阶的例子，从第一行第N-1列的元素（16M）开始。可通过以[5,6]为轴，角151611/tanMM的变换消去16M。接下来的变换是以[4,5]为轴，141512/tanMM为角的变换，消去15M。第一步中消去的16M不会受到这一步的影响，因为其所在的行与列不是第二步变换的转轴所在的行与列，所以其值仍为零。第三步与第四步的变换的转轴分别为[3,4]和[2,3]，转角分别为131413/tanMM和121314/tanMM，这样将会消去14M与13M，并且不会影响之前消去的元素。经过上述四步变换，在矩阵第一行中位于12M与17M之间的四个元素都将为零。由于矩阵中的元素关于主对角线对称，故在第一列中位于21M与71M之间的四个元素也将为零。下一步，第七列中的三个元素37M、47M和57M将分别通过转轴[3,4]、[4,5]和[5,6]，以及角度47371/tanMM、57471/tanMM和67571/tanMM来消去。与第一行一样，第七列将消去不能实现的耦合。第一行消去的13M、14M、15M与16M仍将为零，因为他们在与转轴相交的行的变换的第二步扫描中相互面对，所以不会受到影响。在第三步扫描中，继续依次消去第二行中的25M和24M，在最后一次扫描中消去第六行中的46M。之后，可得折叠正交耦合矩阵的形式，其副对角线上包含对称与非对称的交叉耦合系数。表二表示了消去的全过程。在副对角线上的元素的位置及其最终值自然确定了下来，这些元素不需要特定的消去步骤，因为他们是所需的耦合值。因为由传输函数实现的有限位置处的传输零点的数目从1增长到所允许的N-2，故副对角线上从距主对角线最近的元素值开始，将逐步变为非零值（例如第七阶中的35M）。如果矩阵实现的原型滤波器函数是对称的，那么非对称的交叉耦合35M、26M和17M将自动为零。消去过程中的矩形图和顺序经得起任何阶数的计算机程序的检验。