高等代数(北大版)第4章习题参考答案

第四章矩阵1.设1）311212123A，111210101B2）111abcAcba，111acBbbca计算AB，ABBA。解1）622610812AB，400410434BA222200442ABBA2）22222222223abcabcacbABabcacbabcabcabc222222aaccbabccaBAaaccbbcabbacbbcccaca33()ijABBAa，其中11abac，22212aabcbabc，221322abacac21acbc，2222aacb，32223aabcabbc23132aca，32acbc，33abab2.计算22111)3100125322)42113)01ncossin4)sincosn15)2,3,111，112,3,111112132122313132336),,11aaaxxyaaayaaa2111111117)11111111，1111111111111111n108)0100n解22117441)310943012334。532322)4248。3)采用数学归纳法，可证1110101nn。事实上，当2n时，有211120101，结论成立。当1nk时，归纳假设结论成立，即111110101kk于是当nk时，有111111111111010101010101kkkk，即证1110101nn成立。4）采用数学归纳法，可证cossincossinsincossincosnnnnn，事实上，当2n时，有22222cossincossincossinsincos2cossincossincos2sin2sin2cos2，结论成立。当1nk时，归纳假设结论成立，即1cossincos(1)sin(1)sincossin(1)cos(1)kkkkk，于是当nk时，有1cossincossincossinsincossincossincoskkcos(1)sin(1)cossinsin(1)cos(1)sincoskkkk1234xxxx，其中1cos(1)cossin(1)sincosxkkk，同理可得2sinxk，3sinxk，4cosxk，因而有cossincossinsincossincosnnnnn。5）12,3,1101，123112,3,12311231。6）111211222212,,1aabxyaabbbc111211222212(,,)1xaxaybaxaybbxbycy2211122212222axaxyaybxbyc。7）注意到221111400010001111040001002111100400010111100040001，这意味着，若令1111111111111111A，则222AE.下面对1111111111111111nnA分两种情形讨论①n为偶数，即2nk，于是222()22nkkknAAAEE，②n为奇数，即21nk，于是2122()22nkkknAAAAEAA，故12,22,21nnnEnkAAnk。8）采用数学归纳法，可证121(1)1020100000nnnnnnnnnnn，事实上，当1n时，结论显然成立，现在归纳假设1231121(1)(2)(1)102010(1)0000nnnnnnnnnnn，于是123121(1)(2)(1)10102010(1)01000000nnnnnnnnnnn，121(1)2000nnnnnnnnnn，即证结论成立。3.设1011()mmmmfaaaa，A是一个nn矩阵，定义1011()mmmmfAaAaAaAaE。1）2()1f，211312110A；2）2()53f，2133A，试求()fA。解1）2211211100()312312010110110001fA8242111001125312010101110001513803212。2）212110()53333301fA751053015121515030000。4.如果ABBA，矩阵B就称为A与可交换，设1）1101A2）100012312A3）010001000A求所有与A可交换的矩阵。解1）若记0100AE，并设abBcd与A可交换，即01010000ababEEcdcd，于是01010000ababcdcd，所以00000cda，故0,,cadb任意，从而所有与A可交换的矩阵为0abBa，其中,ab为任意常数。2）同理，记000002321AE并设111222abcBabcabc与A可交换，即111111222222000000002002311311abcabcEabcabcEabcabc于是111111222222000000002002311311abcabcabcabcabcabc，所以22211111212122222000322223233332ccbcabcccbcaaabbbcccccbc，比较对应的(,)ij元，可得1113aba，0b，0c，2123ac，2112bc，21112cbc，于是所有与A可交换的矩阵为1111111111003311222baBabcccbc，其中111,,abc为任意常数。3）设111222abcBabcabc与A可交换，即111111222222010010001001000000abcabcabcabcabcabc，于是111111222222000000abcabcabcabc，故得1220aab,12abc,1bc。所以所有与A可交换的矩阵为000abcBaba，其中,,abc为任意常数。5.设12000000naaAa其中ijaa（当ij时）（,1,2,,ijn），证明：与A可交换的矩阵只能是对角矩阵。证设111212122212nnnnnnxxxxxxBxxx与A可交换，于是由111112111111121122122222221222221212nnnnnnnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxABBAaxaxaxaxaxax，有(,1,,)ijjijaxaxijn，即()0ijijaax（当ijaa时）.有因为ijaa，所以0()ijxij。于是，与A可交换的矩阵B只能是对角矩阵1122nnaaa。6.设1122rraEaEAaE，其中ijaa（当ij时）（,1,2,,ijr），iE是in阶单位矩阵，证明：与A可交换的矩阵只能是准对角矩阵12rAAA，其中iA是in阶矩阵（,1,2,,ijr）。证设111212122212rrrrrrBBBBBBBBBB与A可交换（其中ijB是ijnn阶矩阵），则由ABBA，可得(,1,)iiijijiiaEBBaEijr当ij时，由iijijiaBBa及ijaa，因而必有0ijB。于是，与A可交换的矩阵B只能是准对角矩阵1122rrBBB，其中iiB是in阶矩阵（,1,2,,ijr）。7.用ijE表示i行j列的元素（即(,)ij元）为1，而其余元素全为零的nn矩阵，而()ijnnAa．证明：1）如果1212AEEA，那么当1k时10ka，当2k时20ka；2）如果ijijAEEA，那么当ki时0kia，当kj时0jka，且iijjaa；3）如果A与所有的n阶矩阵可交换，那么A一定是数量矩阵，即AaE。证1）因为12212222112121000000000000nnaaaaaAEEAa，所以212320naaa，213110naaa。即当1k时10ka，当2k时20ka。2）因为j列1212000000000000000iiijijjjjnniaaAEE