923857-复变函数-3.3

机动目录上页下页返回结束1第三节柯西积分公式一、柯西积分公式二、高阶导数公式三、小结与思考机动目录上页下页返回结束2问题的提出1)(,|:|)1(，frzC两种特殊情况：.2d1d)(izzfCC由积分定义得到),()(,,取正向的一条简单闭曲线中包含是解析，内在中一点为为一单连通域设zDCDzfDzD.d)(Czf求积分一、柯西积分公式机动目录上页下页返回结束31)(,)2(，的闭曲线中任一包含是zfzDC2d1d)(||izzfrzC由柯西定理得到)(),(,解析函数，上任一是正向的简单闭曲线中任一包含是一般地DzfzDCd)(zfC？机动目录上页下页返回结束4DCDC分析：的关系与曲线C)1(),(正向的简单闭曲线中另一条包含是设zDCCz由多连通区域的柯西定理得.d)(d)(CCzfzf结论1：积分值不随曲线改变.的关系与函数)()2(zf机动目录上页下页返回结束5DCzRC.d)(d)(RCCzfzf结论2：.d)(RCzzf.)(有关积分值与zf可能积分值)3(RCzifzzf).(2d)(由于结论3：).(2zfi可能积分值等于.)(2d)(Czfizzf即,|:|RzCR取圆周曲线机动目录上页下页返回结束6定理证设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在D=D+C上连续，则对于D内任一点z,有Czfizf.d)(21)(zCC以z为中心，充分小的正数为半径作圆C：|z|=使得C及其内部完全含于D内，所以机动目录上页下页返回结束7,)(解析在因为zzf,0则,0)(,)(连续在所以zzf,时当z.)()(zffCCzfzf.d)(d)(要证明定理成立，只需证明Czfdzfi).()(21lim0于是当时，对于圆周上的点都满足|z|,所以机动目录上页下页返回结束8|)(d)(21|zfzfiC|d)(21d)(21|CCzzfizfiCzzffi|d||||)()(|21.2121机动目录上页下页返回结束9平均值公式:一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,0ieRzzC是圆周如果.d)(π21)(π2000ierzfzf)0(Rr机动目录上页下页返回结束10例1解4dsin2π1zzzzi求积分,sin)(在复平面内解析因为zzf,40内位于且zz4dsin21zzzzi0由柯西积分公式得0sin221zziiCzzzzfizfd)(21)(00机动目录上页下页返回结束11例2212d)1(1izzzz计算积分解)1(12zz))((1izizzizizz)(1)(zf,21)(内解析在显然izzf,0iz由柯西积分公式212d)1(1izzzz21d)(1izzizizzizizzi)(122212ii.i由于积分曲线内只有一个奇点所以机动目录上页下页返回结束12例3解).1(,d173)(,3222ifzzfyxCC求表示正向圆周设根据柯西积分公式知,,内时在当Czzizf)173(π2)(2),173(22zzi),76(2)(zizf故,1内在而Ci).136(2)1(iif所以机动目录上页下页返回结束13例4;211(1):,d14sin2zCzzzC其中计算积分解2112d14sin)1(zzzz211d114sinzzzzz114sin2zzzi;22i机动目录上页下页返回结束14例4;211(2):,d14sin2zCzzzC其中计算积分2112d14sin)2(zzzz211d114sinzzzzz114sin2zzzi;22i解机动目录上页下页返回结束15则解22d1sinzzzz2112d1sinzzzz.1sin2i,10z积分曲线内有两个奇点C-11211z211z1sin221zzi1sin221zzi2112d1sinzzzz例5.2:,d1sin2zCzzzC其中计算积分机动目录上页下页返回结束16课堂练习.d)1(32zzzzze计算积分答案1,1,0zzz有三个奇点).2(d1)1(d1)1(d1d)1(141||41|1|41|1|232eeizzzzezzzzezzzezzzezzzzzzzz机动目录上页下页返回结束17柯西积分公式的推广(多连通)定理2.d)(π21)(,,,)(000321zzzzfizfCzDCCCCDzf那末（如图）内任一点为曲线内的任何一条复合封闭为设内处处解析在多连通区域如果函数提示:仿照多连通区域的柯西定理的证明方法,即添加几条直线使成为几个单连通区域.C1C3C2C0z机动目录上页下页返回结束18柯西积分公式的推广(无界)定理3,,0)(lim,)().(,0那末（如图）内任一点为且上处处解析在函数顺时针方向取正向边界的无界区域为是以简单闭曲线设DzzfDzfCCDz0zDCRC.,||:000域所围成的区域为有界区曲线，且内一条复合封闭为则为中心取逆时针方向，和包含圆周，使提示：取充分大的数DCCCCzRzzCRRRRCzzzzfizfd)(π21)(00机动目录上页下页返回结束19(Cauchy,A.L.,1789—1857)法国数学家.近代微积分学的奠基者;单复变函数理论的创立者.研究领域遍及当时所有数学分支.柯西人总是要死的,但他们的业绩应该永存.----柯西机动目录上页下页返回结束20定理设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在D=D+C上连续，则f(z)在D内有各阶导数，且),2,1(d)()(π2!)(1)(nzfinzfCnn证,1的情况先证n即证对D内任一点z,有zzfzzfzfz)()(lim)(0Czfid)()(212由柯西积分公式得二、高阶导数公式机动目录上页下页返回结束21zzfzzf)()(,d)(d)(21CCzfzzfziCzzzfid)))((()(21从而d)()(21)()(2Czfizzfzzf机动目录上页下页返回结束22d])()()))((()([212Czfzzzfid])))((()([212Czzzzfi即存在正由于f()在D上连续，所以在D上有界，数M,使得|f()|M.,0的距离到曲线为设Czd则有|z|d(C).DzCzzd,充分小取z,21dz满足机动目录上页下页返回结束23则有z+zD.从而对于C上任一点，有.22|)(||)(|dddzzzz所以|d)()(21)()(|2Czfizzfzzf|d])))((()([21|2CzzzzfiCzzzzM2|||)(||d|||21机动目录上页下页返回结束24所以当z0时，.0|d)()(21)()(|2CzfizzfzzfldzM32||21.||3zdMl即.d)()(π21)(2Czfizf因为z为D内任一点，所以n=1时，定理成立.机动目录上页下页返回结束25利用数学归纳法可证.d)()(2!)(1)(Cnnzfinzf推论：设f(z)在复平面上的区域D内处处解析，则f(z)在D内具有各阶导数，并且它们也在D内解析.机动目录上页下页返回结束26例8解CzCzzezizzrzC.d)1()2(;d)(cos)1(.1:,223为正向圆周其中计算下列积分,)(cos)1(3处不解析内在函数izCizz,cos内处处解析在但CzCnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式机动目录上页下页返回结束27Czizzd)(cos3izzi)2()(cos)!13(2.1ich,)1()2(22处不解析内的在函数izCzez,1CiC为中心作一个正向圆周内以在,2Ci为中心作一个正向圆周以,,,)1(2122围成的区域内解析在由则函数CCCzezxyoCii1Ci2Ci机动目录上页下页返回结束28根据多连通区域的柯西积分定理Czzzed)1(2221d)1(d)1(2222CzCzzzezze1d)1(22Czzze1d)()(22Czzizizeizzizei2)()!12(2,2)1(ieixyoCii1Ci2Ci机动目录上页下页返回结束292d)1(22Czzze同理可得,2)1(ieiCzzzed)1(22于是2)1(iei2)1(iei))(1(2iiieei)1sin1(cos)1(22i.41sin2ixyoCii1Ci2Ci机动目录上页下页返回结束30例9.dcos)2(;d)1(1(1)12243zzzzzzezzz求积分解,1)1(3在复平面内解析函数z,210内在zz,3n243d)1(1zzzz13]1[!32zzi;2iCnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式机动目录上页下页返回结束3112dcos)2(zzzzze,cos在复平面内解析函数zez,100内在zz,1n12dcoszzzzze0)cos(!12zzzei0]sincos[2zzzzezei.2i机动目录上页下页返回结束32例10解)(.d1为整数求积分nzzeznz,0)1(n,1上解析在zzenz由柯西定理得1;0dznzzze,1)2(n由柯西积分公式得1dznzzze0)(2zzei;2i机动目录上页下页返回结束33,1)3(nCnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式1dznzzze0)1()()!1(2znzeni.)!1(2ni机动目录上页下页返回结束34课堂练习CzzzzzzgzC.d)()(,302400求的简单闭曲线是不通过设答案;0)(,00zgCz外在.π)16(2)(,2000izzgCz内在机动目录上页下页返回结束35例11解.2,1,||:.d)1)(2(13rrzCzzzzC为正向圆周其中求积分,012)1)(2(13和，有三个奇点函数zzz时，10)1(r,)2)(1(1)(zzzf取Czzzzd)1)(2(13Czzzzd)2)(1(13机动目录上页下页返回结束360))2)(1(1(!22zzzi.43i时，21)2(r圆|z|=r内有z=0,z=1两个奇点，在C内分别以z=0,