探究与发现牛顿法--用导数方法求方程的近似解

牛顿法——用导数方法求方程的近似解2问题1：求方程x3-1=0的解.一.提出问题问题2：求方程x3+2x2+10x-20=0的解.问题3：求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解，精确度为0.001.设f(x)=x3+2x2+10x-20.因为f(1)·f(2)0，且f(x)在R上是单调递增函数，可知，f(x)有唯一零点r(1,2).xy3迭代次数区间中点的值中点函数近似值当前精确度0（1,2）1.52.87511（1,1.5）1.25-2.42190.52（1.25,1.5）1.3750.13090.253（1.25,1.375）1.3125-1.16880.125…………………………9（1.3671875,1.36914625）1.368166875-0.01350.0019531310（1.368166875,1.36914625）1.368656563-0.00320.00097656f(x)=x3+2x2+10x-20.xy11.251.521.3751.31254看到这图，大家想到了谁？5牛顿第一运动定律：一切物体在没有受到力的作用时，总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种运动状态.一.提出问题利用切线方程，找到了一步步逼近点r的点：x0，x1，x2，…xn-1，xnr思考：(1)xn与xn-1之间是否有关系？(2)xn=xn-1-(f’(xn-1)≠0).)()(1'1--nnxfxf6这种用导数的方法求方程近似解即为牛顿法.(2)中的公式即为牛顿法公式.二.形成方法问题：xn满足什么要求才可以作为近似解？11---nnnxxxz比如：给定精确度z0=0.001，若zz0，则所求xn可作为近似解.精确度：7例1.用牛顿法求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解.精确度z0=0.001.解：令f(x)=x3+2x2+10x-20，则f’(x)=3x2+4x+10取x0=，)(')(11--nnxfxfxn=xn-1-=xn-1-10432010212112131------nnnnnxxxxx）（）（）（第二步：8第一步：x1=，z1=；001xxx-？？？？42.4324≈0.3919x2=1.6173，z2=≈0.3351；第三步：x3=1.3856，z3=≈0.14328；第四步：x4=1.3689，z4=≈0.01206；第五步：x5=1.3688，z5=≈0.00007.445xxx-223xxx-112xxx-334xxx-问题：不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？9第二步.x1=x0-(f′(x0)≠0，n≥2)；)()(0'0xfxf第三步.若精确度z=z0，则x1即为所求，否则001xxx-第一步.给定初始值x0和精确度z0；三.化繁为简令x0=x1，回到第二步.10四.感悟方法二分法牛顿法相同之处蕴含思想不足之处优点二分法牛顿法相同之处求方程近似解，需要给定初始值、精确度，需要迭代蕴含思想算法思想、逼近思想、以直代曲(牛顿法)不足之处迭代次数多运算繁琐优点操作容易算法简洁、迭代次数少2.牛顿法步骤：第二步.x1=x0-(f′(x0)≠0，n≥2)；)()(0'0xfxf第三步.若精确度z=z0，则x1即为所求，否则令x0=x1，回到第二步.001xxx-第一步.给定初始值x0和精确度z0；11五.课堂小结1.通过这节课的学习，你有哪些收获？查阅资料：求方程近似解的方法还有哪些？12六.课后作业1.用牛顿法求方程x3-3x-1=0在x=2附近的近似解，精确度z0=0.01.2.求的近似值，精确度z0=0.01.52七.课外延伸