21-2直角坐标系下二重积分计算

数学分析电子教案§2直角坐标系下二重积分的计算数学分析电子教案复习：曲顶柱体的体积求以曲面为顶，底面为矩形的曲顶柱体的体积。)0),((),,(yxfyxfz],;,[dcbayxzOabcd),(yxfz数学分析电子教案i),(iiiiiifV),(yxzOabcd),(yxfz取极限求和近似代替分割分割近似代替求和取极限niiiiniifVV11),(niiiidfV10),(lim数学分析电子教案求曲顶柱体体积步骤如下：⑴分割：将矩形任意分为n块可求面积的小块],;,[dcban,,,21其面积仍记为。相应地将曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体，分别记为n,,,21nVVV,,,21⑵近似代替：在每一小块上任意取一点则小曲顶柱体的体积可用直柱体的体积近似代替，即),(iiiMiViiiifV),(数学分析电子教案⑶求和：把n个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值niiiiniifVV11),(取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：],;,[10),(),(limdcbaniiiiddxdyyxffV⑷取极限：记在和式中令},{max1的直径inid0d数学分析电子教案由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面与平面之间，用与轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为，则此立体的体积为axbxx)(xsbadxxsV)()(xsabx化二重积分为二次积分数学分析电子教案yxzOabcd)(xS作与轴垂直的平面，设截得曲顶柱体截面的面积为)(xSx立体位于平面与平面之间，axbx则曲顶柱体体积为badxxsV)(x数学分析电子教案而就是平面上，由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，所以)(xSxX),(yxfz0,,zdycydcdyyxfxS),()(从而dcbabadcbadyyxfdxdxdyyxfdxxsV),(),()(因此dcbadcbadyyxfdxdxdyyxf),(),(],;,[badcdcbadxyxfdydxdyyxf),(),(],;,[类似地，也可以用与轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得y数学分析电子教案从上面的分析，可以得到下列结果：badcdcbadcbadxyxfdydyyxfdxdxdyyxf),(),(),(],;,[dcbadcbadyyxfdxdxdyyxf),(),(],;,[定理21.8设在矩形上可积，含参变量积分存在，则],;,[dcba),(yxf],[baxdcdyyxfxF),()(数学分析电子教案badcdcbadxyxfdydxdyyxf),(),(],;,[设在矩形上可积，含参变量积分存在，则],;,[dcba),(yxf],[dcybadxyxfyJ),()(类似地可以给出先对后对积分的结果：yx设在矩形上连续，则dcbabadcdcbadyyxfdxdxyxfdydxdyyxf),(),(),(],;,[],;,[dcba),(yxf我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：定理21.9数学分析电子教案前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。根据积分区域的特点，分三种情况讨论。}),()(|),{(21bxaxyyxyyxDyx)(2xyy)(1xyyab这种区域的特点是：与轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于y轴的直线段。x这时二重积分可化为先对后对的二次积分。yx第一种情形：积分区域D由两条曲线及两条直线围成，即)(),(21xyyxyybxax,)()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdxdyyxf数学分析电子教案作包含此积分区域的矩形],;,[dcba令DyxDyxyxfyxF),(,0),(),,(),(于是)()(],;,[21),(),(),(),(xyxybadcbadcbaDdyyxfdxdyyxFdxdxdyyxFdxdyyxfyx)(2xyy)(1xyyabcdx数学分析电子教案}),()(|),{(21dycyxxyxyxD第二种情形：积分区域D由曲线及直线围成，即)(),(21yxxyxxdycy,)()(21),(),(yxyxdcDdxyxfdydxdyyxf这时二重积分可化为先对后对的二次积分。yx)(1yxx)(2yxxydcxo这种区域的特点是：与轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于x轴的直线段。y数学分析电子教案第三种情形：一般情形，这时可用平行于轴与平行于轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。yx1D2D3D4D数学分析电子教案X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.数学分析电子教案xy1例1改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图数学分析电子教案xy222xxy例2改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式102112),(yydxyxfdy.解积分区域如图数学分析电子教案例3改变积分)0(),(20222adyyxfdxaaxxax的次序.axy2解=ayaaaydxyxfdy02222),(原式aayaadxyxfdy0222),(.),(2222aaaaydxyxfdy22xaxy22yaaxa2aa2a数学分析电子教案例4求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yx数学分析电子教案例5求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e数学分析电子教案例6计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxy数学分析电子教案例7求由下列曲面所围成的立体体积，yxz，xyz，1yx，0x，0y.解曲面围成的立体如图.zyxo数学分析电子教案,10yx,xyyx所求体积DdxyyxV)(1010)(xdyxyyxdx103])1(21)1([dxxxx.247所围立体在xoy面上的投影是数学分析电子教案例8求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.解设这两个直交圆柱面的方程为：222ayx222azx由图形的对称性Ddxa22axadyxadx002222adxxa0223316aV=8=8=8=数学分析电子教案二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］作业:P222:1,2,3,4.数学分析电子教案设)(xf在]1,0[上连续，并设Adxxf10)(，求110)()(xdyyfxfdx.思考题数学分析电子教案1)(xdyyf不能直接积出,改变积分次序.令110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答则原式ydxyfxfdy010)()(.,)()(010xdyyfdxxf数学分析电子教案故110)()(2xdyyfdxxfIxdyyfdxxf010)()(])()[()(1010dyyfdxxfxx.)()(21010Adyyfdxxf