11-1常数项级数的概念和性质

第十一章无穷级数概述问题1：有限个数相加一定有结果，而无限个数相加会不会没有结果呢？有限个求和的法则能否用到无限求和中去？1°?11112°?2121212n3°?21n问题2：如何计算一个函数的函数值？比如：(1)y=x2(2)y=ex4°)11()11(1111？5°)11()11(11111？25.025.05.05.0?21e一、常数项级数的概念四、小结思考题第一节常数项级数的概念和性质二、收敛级数的基本性质三、收敛的必要条件问题的提出1.计算圆的面积R正六边形的面积正十二边形的面积1a21aa正形的面积n23naaa21naaaA21即n10310003100310331.2一、常数项级数的概念1.级数的定义:nnnuuuuu3211记一般项设给定一个数列,,,,21nuuu把其用“+”号连接起来nuuu21称此式为（常数项）无穷级数，简称为级数。说明：定义里只是说无穷个数用加号连接，而不是说无穷个数的和，说明定义只是一个形式上的定义。特点：由于1nnu是无穷多项相加，则需要考虑相加的结果是否为确定的值。例如：边长为1的正方形的面积=12121141412118181412113213211618141211n212121211321611618141211n212121211326416413211618141211?1111得到一部分和数列，niinnuuuus121令称为级数的前n项部分和，,11us,212uus,3213uuus,21nnuuus取n=1,2,...s1,s2,s3,…sn,...2.级数的收敛与发散:当n无限增大时,如果级数1nnu的部分和数列ns有极限s,即ssnnlim则称无穷级数1nnu收敛,这时极限s叫做级数1nnu的和.并写成nuuus21如果ns没有极限,则称无穷级数1nnu发散.定义即常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在)余项nnssr21nnuu1iinu即ssn误差为nr)0lim(nnr则若,limssnn例1讨论等比级数(几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.解1°如果1q则12nnaqaqaqaSqqan1)1(发散收敛111limqqqaSnn2°如果1q，则0na=aanaSnnnSlim此时，级数发散3°如果1q，则0)1(nna=aaaa∵kS2=0，∴0lim2kkS又∵aSk12∴aSkk12lim由极限的性质知：∴nnSlim不存在∴级数发散总结：几何级数0nnaq111,qqqa发散和为收敛例2判别无穷级数11232nnn的收敛性.解nnnu1232,3441n已知级数为等比级数，,34q公比,1||q.原级数发散例3判定级数11lnnnn的敛散性。解：∵nn1ln=nnln)1ln(∴nS=)ln)1(ln()2ln3(ln)1ln2(lnnn=1ln)1ln(n=)1ln(n∴nnSlim故11lnnnn发散例4判定级数1)1(1nnn的敛散性解：∵111)1(1nnnnun)111()3121()211(nnSn=111n∴1limnnS∴1)1(1nnn收敛，且1)1(1nnn=1例5试把循环小数3171717.2173.2表示成分数的形式.解173.27531017101710173.203100110173.2nn等比级数1001q公比10011110173.23.4951147判别无穷级数)12()12(1531311nn的收敛性.解)12)(12(1nnun),121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn请你动手做)1211(21limlimnsnnn),1211(21n,21.21,和为级数收敛二、收敛级数的基本性质性质1如果级数1nnu收敛,则1nnku亦收敛.性质2设两收敛级数1nnus,1nnv,则级数1)(nnnvu收敛,其和为s.结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.例6求级数121)1(5nnnn的和.解1)1(5nnn121nn1)1(5nnn5121nn121)1(5nnnn故.61521121,11)1(15nnn性质3若级数1nnu收敛,则1knnu也收敛)1(k.且其逆亦真.证明nkkkuuu21nkkknuuu21,kknssknknnnnsslimlimlim则.kss类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.证明)()()(9654321uuuuuuu,21s.limlimssnnmm则,52s,93s,,nms注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例如1111推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.收敛发散注：1°收敛级数可以任意加括号，不能任意去括号。2°即加括号后收敛，原级数不一定收敛。3°加括号后级数发散，则原级数也发散。三、收敛的必要条件级数收敛.0limnnu证明1nnus,1nnnssu则1limlimlimnnnnnnssuss.0即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun级数收敛的必要条件:注意：1°由逆否命题知：如果级数一般项不趋于零，则级数发散。〈用途〉：此命题主要用来判定级数的发散。2°此命题的逆命题不成立，即一般项趋于零的级数不一定收敛。1)1(4332211nnn例如发散.,0lim但级数不收敛有nnu例如调和级数〈调和级数〉形如11nn的级数，称为调和级数。证明将调和级数8131211加括号21212121)16191()8151()4131()211(∵121n的前n项部分和为n21，设加括号后级数的前n项部分为nS∴nSn21∴nnSlim，即加括号后级数发散，故原级数发散。四、小结1.由定义,若ssn,则级数收敛;2.当0limnnu,则级数发散;3.按基本性质.常数项级数的基本概念基本审敛法1、若级数为642422xxxx则na_______；2、若级数为97535432aaaa则na________；3、若级数为615413211则当n_____时na_____；当n______时na________；4、等比级数0nnaq,当_____时收敛；当____时发散.思考题一、1、)2(6422nxn2.12)1(11nann；3、kkkk21,2,12.12；4、1,1qq.]思考题解答思考题设1nnb与1nnc都收敛，且nnncab),2,1(n，能否推出1nna收敛？思考题解答能．由柯西审敛原理即知．