从形式到内涵的嬗变-方程的意义-教学实践与思考-朱国荣

小学数学教师/2014.3/精品课堂Jingpinketang不会不懂装懂，而是敢于提出自己不同的见解，并坚持自己的意见。二是游老师对这类孩子的尊重和关注是很到位的。分享课堂，大部分时间是一种角色换位，让学生启发学生，让学生帮助学生，但是也不排斥一对一的讲授。当学生不能够将一种方法说得透彻的时候，教师就该出马了。欣赏游老师的果断，同时也欣赏游老师不是单纯地给学生讲懂，而是在学生明白第一个算式120×3的意义后，让他表达第二个算式210×2的意义。教师就是为了解决学生的疑惑而存在的，这样的处理，体现了顺应学情的分享。分享课堂有三个基本单元，但在每个单元里教师该如何做，是很值得探讨的。游老师的分享课堂，让我看到别样的美，用吴正宪老师的话来说：“游老师的课是思维不断碰撞的课堂。”思维碰撞，该吸收则吸收，该释疑则释疑，该驻足则驻足，让分享跟着学情走，才是硬道理。（四川省成都市泡桐树小学（天府校区））课堂□朱国荣吕英从形式到内涵的嬗变从形式到内涵的嬗变——﹃﹃方程的意义方程的意义﹄﹄教学实践与思考教学实践与思考课前思考“方程的意义”一课，无论是教材，还是教学实践，无一例外都借助天平导入。教学中，根据天平演示，先呈现一组等式（方程）、不等式，再引导学生分类，进而揭示方程的概念。这几乎成了“方程的意义”一课教学的不二选择！当所有人都以为这就是真理时，谬误或许已隐藏其中！借助天平教学“方程的意义”，有两个问题值得商榷。一是本节课的教学目标定位，是把“含有未知数的等式，叫做方程”这个形式化的定义作为教学重点，还是把“知道方程表示数量间的相等关系”作为教学重点？我认为是后者。张奠宙教授认为“这个定义其实并不重要，那只是‘方程式’的一个外观描述，没有体现方程的本质”。史宁中教授也曾提到如何理解方程的定义问题，他说：“虽然教科书中定义为‘含有未知量的等式’，但应当知道方程的本质是在讲两个故事，这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。”也就是说，从这个定义出发去判断一个式子是不是方程，意义不大，关键是要知道方程是怎么回事，是做什么用的。方程是一种思想，是把未知量视为与已知数同等性质可参与运算的量，利用等量关系构造方程，求出问题的解。二是天平将“方程表示数量间的相等关系”的理解狭隘化，天平揭示的只是一种特殊的相等关系，即天平两端所置物品的质量相等，而“方程表示数量间的相等关系”的涵义要丰富得多。进一步思考，后续学生在学习列方程解决问题时，所遇到的最大困难是不能准确、迅速地找出数量间的相等关系。我以为，这与初次教学“方程的意义”时，给了学生对方37/小学数学教师/2014.3精品课堂Jingpinketang程概念的狭隘理解有关。因此，本课教学将改变把天平作为主要媒介的习惯做法，从复习“用字母表示数”导入，在链接学生对数量间相等关系原有认知的基础上，引导学生理解方程的意义，重视培养学生在具体情境中找出等量关系的能力。当然，天平也是本单元学习中一个十分重要的媒介，但不是在“方程的意义”教学中，而是在“等式的性质”教学时。教学实践一、复习导入课件出示下面三题，请学生独立做在练习纸上，做完后口答校对。（1）这个长方形的面积是平方厘米。（2）一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了a千米，还剩125千米。甲乙两地相距千米。（3）十月份他们一共投报份。【环节意图：能用含有字母的式子表示某一个量，是建构方程概念的重要基础。复习“用字母表示数”，意在激活学生原有的认知，为引入方程作准备。】二、探索展开1.揭示课题，并请学生说说什么是方程。生：我觉得方程就是其中有一个未知数，等号两边都是等量。2.根据数量间的相等关系列式（第一组）。（1）呈现：五（1）班有男生20人，女生18人。五（1）班共有多少人？生:20+18=38（人）。教师板书算式及等量关系：男生人数+女生人数=总人数。（2）呈现：五（1）班有男生20人，女生a人。五（1）班共有38人。生：38-20=18（人）。教师板书算式及等量关系：总人数-男生人数=女生人数。（3）呈现：五（1）班有男生b人，女生18人。五（1）班共有38人。生：38-18=20（人）。教师板书算式及等量关系：总人数-女生人数=男生人数。（4）师小结并提出新的要求：刚才，我们用三个不同的等量关系写出了三个不同的算式。今天老师有新的要求，我把后两种等量关系擦掉（两个减法），你能不能把这两个题目也按第一个等量关系（男生人数+女生人数=总人数），来写一个算式？学生独立写，然后指名口答。生:20+a=38（人）。师追问：这里的a表示什么？生：a表示女生人数。师：这是一个未知数。生：b+18=38（人）。师：观察这三个算式，它们有什么共同的地方？生：都有一个未知数。师：第一题没有。生：总人数都一样。生：它们的等量关系都是一样的。请学生齐读这三个算式共同的等量关系。3.根据数量间的相等关系列式（第二组）。（1）呈现：一个长方形的长是7厘米，宽是5厘米。这个长方形的周长是（）厘米。生:（7+5）×2=24（厘米）。教师板书算式及等量关系：（长+宽）×2=长方形的周长。38小学数学教师/2014.3/精品课堂Jingpinketang（2）呈现：一个长方形的长是7厘米，宽是x厘米，这个长方形的周长是24厘米。一个长方形的长是y厘米，宽是5厘米，这个长方形的周长是24厘米。师：根据这两条信息，请你想一个等量关系，各写一个算式。学生独立写，然后指名口答，教师板书。生1：（7+x）×2=24（厘米）。生2：（y+5）×2=24（厘米）。请同桌学生互相说一说这两个算式的等量关系。4.揭示方程的概念。教师把黑板上的六个算式圈起来，引导学生观察。师：这六个算式有一个共同的特点，都有一个等号，是根据等量关系列出来的。像这样的式子，我们把它叫做等式。师：在这六个等式中，有几个就是我们今天要认识的方程。你能把它们找出来吗？指名一位学生在黑板上打勾，该学生准确勾出其中四个含有未知数的式子。师：为什么你们都认为下面这四个是方程？生1：因为这四个算式里都有一个未知数。生2：这四个算式左右两边都相等。师：是的，像这样含有未知数的等式，叫做方程。教师板书，并请学生齐读。师：我们还要特别注意，当我们列方程时，后面的单位是不用写的。教师擦去每个方程后面的单位。【环节意图：让学生从熟悉的、简单的等量关系中，经历方程产生的过程，初步认识方程表示数量间的相等关系。】三、巩固应用1.判断：下边哪些式子是方程？①35＋65＝100②x－16＞72③y＋24④5x＋32＝47⑤28＜16＋14⑥6a＋2b＝42先请学生把自己认为是方程的式子读给同桌听，然后指名口答。生：5x＋32＝47和6a＋2b＝42是方程。师：x－16＞72为什么不是方程呢？它不也含有未知数吗？生：因为它不是等式，有一个大于号的。师：这是我们以后要学习的不等式。2.看图写等量关系，并列出方程。（1）课件呈现：请学生先找等量关系，再列方程。生1：小猫的质量+皮球的质量=盒子的质量。生2：x＋0.5＝2.5。（2）课件呈现：请学生先写等量关系，再列方程。学生独立写，然后投影反馈。先反馈第一小题。生1：三盒蜡笔=36枝，3x＝36。生2：一×共=总，x×3=36。39/小学数学教师/2014.3精品课堂Jingpinketang师：谁能看懂这位同学写的？生3：一盒蜡笔的枝数×盒数=蜡笔的总枝数。生4：一份数×份数=总数。生5：可以把乘号省略，写成3x＝36。再反馈第二小题。生1：小明+28=爸爸，x＋28＝40。生2：爸－小=相，40－x＝28。师：同一个题，我们找的等量关系不一样，所列出的方程也不一样。生3：爸爸－28=小明的岁数，40－28＝x。师：能看懂吗？同意这样列方程吗？（同意！）老师告诉大家，这个等量关系是对的，这样列方程也是可以的。生4：一般方程未知数是放在等号左边的，或者是和已知数放在一起的，这样大家才能更明白一点。师：谁这样告诉你的？生4：我在外面学的。师：你只了解了一半，当我们要解决的问题比较复杂的时候，列出的方程左边有未知数，右边可能也有未知数。【环节意图：先找等量关系，并要求学生写下来，再列方程，是为了培养学生找等量关系的意识和能力，为后续学习列方程解决问题打下扎实的基础】3.找出“复习导入”三个情境中的等量关系，并列出方程。（1）课件呈现：师：你能列出方程吗？生：不能，它还没有告诉我们这个长方形的面积是多少。课件呈现：这个长方形的面积是4800平方厘米。请学生想等量关系，并写出方程，然后指名口答。生：80x＝4800。生：等量关系是“长×宽=长方形的面积”。（2）课件呈现：一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了a千米，还剩125千米。甲乙两地相距280千米。请学生想等量关系，并写出方程，然后同桌交流。（3）课件呈现：请学生自己想一个条件，列出方程。生：31（a+b）=3100。师：你补了什么条件？生：一天共投了100份。师：如果补的条件是“一天共投了100份”，方程应该怎样列？生：a+b=100。师：谁知道他补上的是什么条件？生：他们两个人31天一共投了3100份。师：还有不一样的吗？生：31（a+50）=4800。师：大家有什么疑问吗？生：这个50哪里来的？生：这个50就是那个b，表示另一个人每天投报的份数，4800是一个月两人投报的总数。我补了两个条件。四、课堂总结1.什么是方程？2.方程是怎么来的？生1：一个等式中含有未知数。生2：方程是通过等量关系得来的。生3：方程是把未知数代入到等量关系中。师：方程是通过等量关系得来的，因此一个方程的背后一定有一个等量关系。五、拓展延伸40小学数学教师/2014.3/精品课堂Jingpinketang1.根据方程选择具体的问题情境。（1）x－17＝25。一辆公交车上原来有x人，到站后有17人上车，汽车上现在有25人。一辆公交车上原来有x人，到站后有17人下车，汽车上现在有25人。（2）a+1=12。（3）6m=300。每辆小汽车m元，6辆这样的小汽车一共300元。一辆汽车每小时行m千米，这辆汽车6小时行300千米。（4）6m=300还可以表示哪些等量关系呢？教学评析这节“方程的意义”，在备课时作了深刻的思考与对比，摒弃了传统的教学思路，没有把形式化的定义作为教学重点，而是让学生从更广阔的背景中去理解方程的意义，获得方程的思想。1.从大处着眼，大道至简一节课的成功不仅仅是完成这节课的教学任务，更重要的是能否对学生的后续学习有帮助，能否使学生得到持续发展。“方程的意义”是学习方程的起始课，承载的不仅仅是认识方程的任务，从整体来说，更重要的是理解方程的意义，获得方程的思想，知道方程表示数量间的相等关系，为后续列方程解决实际问题做好铺垫。从这个意义上来说，方程教学的基点应更高、更广阔些。我们将教学目标重新进行了定位，淡化了定义的形式，重组了学习素材，作了一次新的探索。2.由小处入手，细化入微方程的内涵本质是什么?张奠宙教授指出：方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。这节课始终紧扣方程内涵，从“用字母表示数”链接旧知；到“根据数量间的相等关系列式、列方程”建构新知；再沟通新旧之间的联系进行拓展延伸，使学生更深刻地理解了方程的来龙去脉。如复习环节，想想哪个题目最容易做错；导入环节，什么是方程，知道的说一说；新知环节，观察3个算式有什么共同的地方，说出背后的等量关系；交流环节，学生相互解读看图写出的等量关系和方程；回顾环节，什么是方程，方程是怎么来的，等等。每一教学着力点都深入挖掘，让学生拾级而上，主动建构起方程模型。整节课始终引导学生在具体情境中找出等量关系，并通过实际问题来建立方程。在概念的引入、探究和运用上统筹设计，由点至面，紧扣思维生长点，在核心处放慢脚步，让学生经历过程，获得经验。真正实现教育研究的生命还在静静守候！3.在深处扎根，浸润思想对方程的处理，西南师大陈重穆先生提出：淡化名词术语，浸润思想方法，突出等式性质，灵活解题步骤。陈先生的话对我们的方程教学很有借鉴作用。这节课正是这样一步步走来，抓住孩子们学习的链接点，