高等代数多项式试题库

文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.1word版本可编辑.欢迎下载支持.§1数域[达标训练题]一填空题1．数集{0}对运算封闭.2．自然数集N对运算封闭.3．数集},{Zbabia对封闭.二判断题1.数域必含有无穷多个数.2.所有无理数构成的集合是数域.三证明1.证明},{)(QbanbanQ是数域,这里n不是完全平方数.2.证明},2{3Qbaba不是数域.3.若21,PP是数域,证明21PP也是数域,而21PP不一定是数域.§1数域[达标训练题解答]一填空题1．加法、减法、乘法；2.加法、乘法；3.加法、减法、乘法.二判断题1.(T)；2.(F)三、解答题1．证明显然nQ1,0.对任意的)(,2211nQnbanba,)()(2211nbanba=)(21aa+nbb)(21)(nQ;)()(2211nbanbanbababnbaa)()(12212121)(nQ.当011nba时,nbanba1122)(2121212121212121nQnnbaabbanbanbbaa.故},{)(QbanbanQ对加法减法乘法除法封闭.即},{)(QbanbanQ是数域.2．证明因为32},2{3Qbaba,333422},2{3Qbaba.即},2{3Qbaba对乘法不封闭.所以},2{3Qbaba不是数域.3．证明由于任意数域都包含有理数,故21,PP也包含有理数域,从而21PP包含有理数域.令21,PPba,则1,Pba,2,Pba.由于21,PP是数域,故文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.2word版本可编辑.欢迎下载支持.1,Pabba,2,Pabba;当0b时,21,PbaPba,所以21,,PPbaabba.即21PP是数域.例如:取1P=},2{)2(QbabaQ,2P},3{)3(QbabaQ,容易验证21PP不一定是数域;取1P=Q,2P},3{)3(QbabaQ,显然21PP=},3{Qbaba是数域.§2一元多项式[达标训练题]A组一填空题1.系数在数域P上的关于文字x的一元多项式指的是形式表达式,其中i次项是,i次项系数是,常数项是.2.下列形式表达式(i)2;(ii)x1;(iii)0;(iv))3ln(132xxx;(v)1)1(23xiix;(vi)nxnxx!1!31!2113;其中是多项式.3.零多项式是,零次多项式是.4.设多项式miiiniiixbxgxaxf11)(,)(,则)()(xgxf的k次项系数是.二判断题1.0是零次多项式.2.若)()()()(xhxfxgxf,则)()(xhxg.3.若)(),(),(xhxgxf都是数域P上的多项式,则))()((xgxf))((xf或者))()((xgxf))((xg.三解答题1.设)2()1()2()(22xxcxbxaxf,试确定cba,,,使)(xf(i)零次多项式;(ii)零多项式;(iii)一次多项式5x.2.若)(),(xgxf是实数域上的多项式,证明:若,0)()(22xgxf则0)()(xgxf.B组1.设)(),(),(xhxgxf是实数域上的多项式,证明:若),()()(222xxhxxgxf则文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.3word版本可编辑.欢迎下载支持.0)()()(xhxgxf.2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式.3.次数定理中,式子))}(()),((max{))()((xgxfxgxf何时等号成立?何时小于号成立?§2一元多项式[达标训练题解答]A组一填空题1．1110nnnnaxaxaxa，iixa，ia，0a；2.（i），（iii）（v）；3.0，非零常数；4.11kiikiba.二判断题1．(F)；2.(F).;3.(F).三解答题1．解因为222()(2)(1)(2)()fxaxbxcxxacx(2)abcx)24(cba.利用多项式相等的定义的:(i)024020cbacbaca(ii)024020cbacbaca(iii)524120cbacbaca即(i)当0,3,ccbca时,)(xf为零次多项式;(ii)当0cba时)(xf为零多项式;(iii)6,17,6cba时)(xf是一次多项式5x.2．证明设01)(axaxaxfnn，01)(bxbxaxgmm，则)()(22xgxf的第k次项系数为)(0ikikiikibbaa=0,当0k得000ba,当1k时得02121ba,进而011ba,同样地,得到022ba…….因此0)()(xgxfB组1．证明若0)(xg(或0)(xh)显然得)()()(222xxhxxgxf是一个奇次多项式,这是不可能的.又若0)(xf,则)(),(xhxg不全为零,因此也得)()()(222xxhxxgxf是一个奇次多项式,这也是不可能的.所以0)()()(xhxgxf2．解取1)(),1()(,2)(xxhxixgixxf，则)()()(222xxhxxgxf.3．解当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立;其余情形小于号成立.文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.4word版本可编辑.欢迎下载支持.§3整除的概念[达标训练题]A组一填空题1.)(),(),(xhxgxf都是][xP中的多项式,若)()()(xhxgxf,则称整除，称为的因式，为的倍式，记为.2.若0)(,0)(),()()()(xrxgxrxqxgxf或))(())((xgxr,那么除的商式是,余式是,这里][)(),(),(xPxrxgxf.二判断题1.零多项式能够整除任意多项式.2.整除任意多项式能够被零次多项式整除.3.若)()(),()(xfxgxgxf,则))(())((xgxf.4.若0)(),()()()(xgxrxqxgxf,则满足该式的多项式)(),(xrxq有且只有一对.5.若))()(()(xhxgxf,则)()()()(xhxfxgxf或.三解答题1．设baxxxxf232)(，2)(2xxxg，)(xg除)(xf的余式12)(xxr，求ba,.2.如果))()(()()),()(()(2121xfxfxgxfxfxg,则)()(,)()(21xfxgxfxg.2．如果x不整除)(xf与)(xg，则x不整除)(xf与)(xg的乘积.3.证明pnmxxxxxpnm,,,1231332是非负整数.4.证明①如果)()(xfxh,()|()hxgx,则()|(()())hxfxgx;②如果()|(),()|()hxfxhxgx,则()|()()hxfxgx不一定成立.B组一多项选择题1.)(xf是任意多项式,c是非零常数,则下列结论成立的是.(A))(0xf;(B)0)(xf;(C)00;(D)c0;(E)0c;(F)cxf)(;(G))(xfc;(H))()(xfxcf.2.若在][xP中,)(xg整除)(xf，为强调数域，我们记)()(xfxgP.设文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.5word版本可编辑.欢迎下载支持.][)(),(xQxgxf，下列结论正确的有.(A)若)()(xfxgQ,则)()(xfxgR;(B)若)()(xfxgR,则)()(xfxgq;(C)若)()(xfxgQ,则)()(xfxgR;(D)若)()(xfxgR,则)()(xfxgq.3.设)()(),()(xgxpxfxp,则)(xp整除于.①)()(xgxf;②)()(22xgxf;③)()(xgxf;④)()(33xgxf.二证明题1.证明)(xfxk的充分必要条件是)(xfx.2.证明113691234578xxxxxxxxxx.3.证明1dx整除1nx的充要条件是nd.4.证明,若)()()(1424423xhxxxgxfxxx,则1x同时整除)(),(),(xhxgxf.与例2联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.5.对照多项式的整除性理论，讨论整数的整除性理论.§3整除的概念[达标训练题解答]A组一填空题1．)(),(xhxg，)(xf，)(),(xhxg，)(xf，)(xf，)(),(xhxg，)()(),()(xfxhxfxg，)(xg，)(xf；2.)(xq，)(xr.二判断题1.(F)；2.(T)；3.(F);4.(F);5.(F)三解答题1．解利用带余除法得)2()1)(()(baxxxgxf，所以12)2(xbax，即3,2ba.2．证明))()(()()),()(()(2121xfxfxgxfxfxg,利用整除性的性质，我们有))}()((21)))()(((21{)(2121xfxfxfxfxg，即)()(,)()(21xfxgxfxg.3．证明若)()(xgxfx,x不整除)(xf与)(xg则存在常数0,021rr,使2211)()(,)()(rxxqxgrxxqxf,所以)()(()()(21xqxxqxxgxf2112))(rrxqr,由于)()(xgxfx,所以21rrx,得出矛盾.即x不能整除)()(xgxf证明由于三次单位根21,都是23133pnmxxx的根，即12xx的根都是23133pnmxxx的根.从而pnmxxxxxpnm,,,1231332.4.证明因为2121()(),xxxx其中(1,2)ii是三次单位虚根,而331320mnpiii,即33132(1,2)mnpixxxxi,再利用12,xx互素文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.6word版本可编辑.欢迎下载支持.得到3313212()()mnpxxxxx,即2331321mnpxxxxx5．证明①如果)()()(xgxfxh,因为)()(xfxh,由整除性性质得:)()()(()(xfxgxfxh,即)()(xgxh,与)()(xgxh矛盾,所以)()()(xgxfxh.B组一多项选择题1．B,C,E,G,H；2.(A)(D);3.①②③④二、证明题1．证明充分性显然,仅证必要性.设rxxqxf)()(,则)())(()(xqxCrxxqxfkkokkkrxqxCkkk)(111kkkkkkrCrxxqC11)(krxxp)(因为)(xfx且)(xxpx，由整除性的性质得：)(xfxk.2．证明利用带余除法,)1`)(1(12343457836912xxxxxxxxxxxxxx所以113691234578xxxxxxxxxx.3．证明充分性显然,仅证必要性.设rdqn若drr,0,)1()1(11rrdqrdqnxxxxx,而11dqdxx,因此11rdxx,得出矛盾.所以0r,即nd.4．证明因为)3,2,1(4sin4kkikconwk是123xxx的根,显然)()()(4244xhx