2013年高考数学圆锥曲线典型问题

圆锥曲线典型问题问题1：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a，b，p等.例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.思路分析：设所求椭圆方程为12222byax或)0(12222baaybx.根据题意列出关于a,b,c方程组，从而求出a,b,c的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离.解：设椭圆的方程为12222byax或)0(12222baaybx，则222)12(4cbacacb，解之得：24a，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为1163222yx或1321622yx，离心率22e；准线方程88yx或，两准线的距离为16.点评：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.演变1：如图，已知△P1OP2的面积为427，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为213的双曲线方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点拨与提示新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆本题考查待定系数法求双曲线的方程，利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆问题2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例2：设F1、F2为椭圆14922yx的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求||||21PFPF的值.PP1P2o思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1：由已知，｜PF1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝52，若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝314，｜PF2｜＝34，这时27||||21PFPF.若∠F2PF1为直角，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时2||||21PFPF.解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x0,y0），)0,5(),0,5(21FF.若∠PF2F1为直角，则P（34,5），这时｜PF1｜＝314，｜PF2｜＝34，这时27||||21PFPF.若∠PF2F1为直角，则由15514922xyxyyx，解得：)554,553(P.于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时2||||21PFPF.点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用｜PF1｜＝a+ex,｜PF2｜=a-ex来求解.演变2：已知双曲线的方程为1422yx,直线l通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|·|F1B|的最小值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点拨与提示：由双曲线的定义得：|AF1|=25(x1+54)=25x1+2，|BF1|=25x2+2,|F1A|·|F1B|=(25x1+2)(25x2+2)=45x1x2+5(x1+x2)+4，将直线方程和双曲线的方程联立消元，得x1+x2=145822kk,x1x2=─1442022kk.本题要注意斜率不存在的情况.问题3：有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.例3：已知某椭圆的焦点F1（－4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足条件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.故椭圆的方程为192522yx.由点B（4，y0）在椭圆上，得｜F2B｜＝｜y0|＝59，因为椭圆的右准线方程为425x，离心率54e.所以根据椭圆的第二定义，有,545)425(54||112xxAF222545)425(54||xxCF.因为｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列，1545x＋5925452x，所以：x1+x2=8,从而弦AC的中点的横坐标为4221xx点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.演变3：已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线3692xy的顶点和准线.⑴求椭圆C的方程；⑵若点P为椭圆上C的点，△PF1F2的内切圆的半径为75，求点P到x轴的距离；⑶若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时求点P的取值范围.点拨与提示：本题主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用.根据抛物线确定抛物线的顶点和准线方程，从而得到椭圆的标准方程.解题时注意椭圆的定义的运用.问题4：直线与圆锥曲线位置关系问题利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例4：抛物线C的方程为)0(2aaxy，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足)10(012且kk.（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足MABM，证明线段PM的中点在y轴上；（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标1y的取值范围.思路分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解.解：（Ⅰ）由抛物线C的方程2axy（0a）得，焦点坐标为)41,0(a，准线方程为ay41．（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为)(010xxkyy，直线PB的方程为)(020xxkyy．点),(00yxP和点),(11yxA的坐标是方程组0102()yykxxyax①②的解．将②式代入①式得000112yxkxkax，于是akxx101，故011xakx③又点),(00yxP和点),(22yxB的坐标是方程组0202()yykxxyax④　　　　⑤的解．将⑤式代入④式得000222yxkxkax．于是220kxxa，故220kxxa．由已知得，12kk，则012xkax．⑥设点M的坐标为),(MMyx，由MABM，则112xxxM．将③式和⑥式代入上式得0001xxxxM，即00xxM．∴线段PM的中点在y轴上．（Ⅲ）因为点)1,1(P在抛物线2axy上，所以1a，抛物线方程为2xy．由③式知111kx，代入2xy得211)1(ky．将1代入⑥式得211xk，代入2xy得222)1(ky．因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为2111(1,21)Akkk，2111(1,21)Bkkk．于是2111(2,2)APkkk，11(2,4)ABkk，2111111112(2)4(2)2(2)(21)APABkkkkkkkk．因PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有0APAB．求得1k的取值范围是12k或1102k．又点A的纵坐标1y满足211(1)yk，故当12k时，11y；当1102k时，1114y．即11(,1)(1,)4y点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自己的运算能力.演变4.(05年重庆)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：2kxy与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA(其中O为原点)，求k的取值范围.问题5：轨迹问题根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.例5.（05年江西）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹思路分析：（1）由直线MF（或ME）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，消去y0即得到G的轨迹方程（参数法）.解：（1）设M（y20,y0），直线ME的斜率为k(l0)则直线MF的斜率为－k，方程为200().yykxy∴由2002()yykxyyx，消200(1)0xkyyyky得解得20021(1),FFkykyyxkk∴0022000022211214(1)(1)2EFEFEFkykyyykkkkkykykyxxykkk(定值)所以直线EF的斜率为定值.（2）90,45,1,EMFMABk当时所以直线ME的方程为200()yykxy由2002yyxyyx得200((1),1)Eyy同理可得200((1),(1)).Fyy设重心G（x,y），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333MEFMEFyyyyxxxxyyyyxxxx消去参数0y得2122().9273yxx点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.演变5：已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），xyOABEFMQ是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程