高等数学微积分公式大全

高等数学完整版计算公式一、00101101lim0nnnmmxmanmbaxaxanmbxbxbnm−−→∞⎧=⎪⎪+++⎪=⎨+++⎪∞⎪⎪⎩（系数不为0的情况）二、重要公式（1）0sinlim1xxx→=（2）()10lim1xxxe→+=（3）lim()1nnaao→∞=（4）lim1nnn→∞=（5）limarctan2xxπ→∞=（6）limtan2xarcxπ→−∞=−（7）limarccot0xx→∞=（8）limarccotxxπ→−∞=（9）lim0xxe→−∞=（10）limxxe→+∞=∞（11）0lim1xxx+→=三、下列常用等价无穷小关系（0x→）sinxx∼tanxx∼arcsinxx∼arctanxx∼211cos2xx−∼()ln1xx+∼1xex−∼1lnxaxa−∼()11xx∂+−∂∼四、导数的四则运算法则()uvuv′′′±=±()uvuvuv′′′=+2uuvuvvv′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠五、基本导数公式⑴()0c′=⑵1xxμμμ−=⑶()sincosxx′=⑷()cossinxx′=−⑸()2tansecxx′=⑹()2cotcscxx′=−⑺()secsectanxxx′=⋅⑻()csccsccotxxx′=−⋅⑼()xxee′=⑽()lnxxaaa′=⑾()1lnxx′=⑿()1loglnxaxa′=⒀()21arcsin1xx′=−⒁()21arccos1xx′=−−⒂()21arctan1xx′=+⒃()21arccot1xx′=−+⒄()1x′=⒅()12xx′=六、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()nnnuxvxuxvx±=±⎡⎤⎣⎦（2）()()()()nncuxcux=⎡⎤⎣⎦（3）()()()()nnnuaxbauaxb+=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nnnkkknkuxvxcuxvx−=⋅=⎡⎤⎣⎦∑七、基本初等函数的n阶导数公式（1）()()!nnxn=（2）()()naxbnaxbeae++=⋅(3)()()lnnxxnaaa=(4)()()sinsin2nnaxbaaxbnπ⎛⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠(5)()()coscos2nnaxbaaxbnπ⎛⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠(6)()()()11!1nnnnanaxbaxb+⋅⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠+(7)()()()()()11!ln1nnnnanaxbaxb−⋅−+=−⎡⎤⎣⎦+八、微分公式与微分运算法则⑴()0dc=⑵()1dxxdxμμμ−=⑶()sincosdxxdx=⑷()cossindxxdx=−⑸()2tansecdxxdx=⑹()2cotcscdxxdx=−⑺()secsectandxxxdx=⋅⑻()csccsccotdxxxdx=−⋅⑼()xxdeedx=⑽()lnxxdaaadx=⑾()1lndxdxx=⑿()1loglnxaddxxa=⒀()21arcsin1dxdxx=−⒁()21arccos1dxdxx=−−⒂()21arctan1dxdxx=+⒃()21arccot1dxdxx=−+九、微分运算法则⑴()duvdudv±=±⑵()dcucdu=⑶()duvvduudv=+⑷2uvduudvdvv−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠十、基本积分公式⑴kdxkxc=+∫⑵11xxdxcμμμ+=++∫⑶lndxxcx=+∫⑷lnxxaadxca=+∫⑸xxedxec=+∫⑹cossinxdxxc=+∫⑺sincosxdxxc=−+∫⑻221sectancosdxxdxxcx==+∫∫⑼221csccotsinxdxxcx==−+∫∫⑽21arctan1dxxcx=++∫⑾21arcsin1dxxcx=+−∫十一、下列常用凑微分公式积分型换元公式()()()1faxbdxfaxbdaxba+=++∫∫uaxb=+()()()11fxxdxfxdxμμμμμ−=∫∫uxμ=()()()1lnlnlnfxdxfxdxx⋅=∫∫lnux=()()()xxxxfeedxfede⋅=∫∫xue=()()()1lnxxxxfaadxfadaa⋅=∫∫xua=()()()sincossinsinfxxdxfxdx⋅=∫∫sinux=()()()cossincoscosfxxdxfxdx⋅=−∫∫cosux=()()()2tansectantanfxxdxfxdx⋅=∫∫tanux=()()()2cotcsccotcotfxxdxfxdx⋅=∫∫cotux=()()()21arctanarcnarcn1fxdxftaxdtaxx⋅=+∫∫arctanux=()()()21arcsinarcsinarcsin1fxdxfxdxx⋅=−∫∫arcsinux=十二、补充下面几个积分公式tanlncosxdxxc=−+∫cotlnsinxdxxc=+∫seclnsectanxdxxxc=++∫csclncsccotxdxxxc=−+∫2211arctanxdxcaxaa=++∫2211ln2xadxcxaaxa−=+−+∫221arcsinxdxcaax=+−∫22221lndxxxacxa=+±+±∫十三、分部积分法公式⑴形如naxxedx∫，令nux=，axdvedx=形如sinnxxdx∫令nux=，sindvxdx=形如cosnxxdx∫令nux=，cosdvxdx=⑵形如arctannxxdx∫，令arctanux=，ndvxdx=形如lnnxxdx∫，令lnux=，ndvxdx=⑶形如sinaxexdx∫，cosaxexdx∫令,sin,cosaxuexx=均可。十四、第二换元积分法中的三角换元公式(1)22ax−sinxat=(2)22ax+tanxat=(3)22xa−secxat=【特殊角的三角函数值】（1）sin00=（2）1sin62π=（3）3sin32π=（4）sin12π=）（5）sin0π=（1）cos01=（2）3cos62π=（3）1cos32π=（4）cos02π=）（5）cos1π=−（1）tan00=（2）3tan63π=（3）tan33π=（4）tan2π不存在（5）tan0π=（1）cot0不存在（2）cot36π=（3）3cot33π=（4）cot02π=（5）cotπ不存在十五、三角函数公式1.两角和公式sin()sincoscossinABABAB+=+sin()sincoscossinABABAB−=−cos()coscossinsinABABAB+=−cos()coscossinsinABABAB−=+tantantan()1tantanABABAB++=−tantantan()1tantanABABAB−−=+cotcot1cot()cotcotABABBA⋅−+=+cotcot1cot()cotcotABABBA⋅+−=−2.二倍角公式sin22sincosAAA=2222cos2cossin12sin2cos1AAAAA=−=−=−22tantan21tanAAA=−3.半角公式1cossin22AA−=1coscos22AA+=1cossintan21cos1cosAAAAA−==++1cossincot21cos1cosAAAAA+==−−4.和差化积公式sinsin2sincos22ababab+−+=⋅sinsin2cossin22ababab+−−=⋅coscos2coscos22ababab+−+=⋅coscos2sinsin22ababab+−−=−⋅()sintantancoscosababab++=⋅5.积化和差公式()()1sinsincoscos2ababab=−+−−⎡⎤⎣⎦()()1coscoscoscos2ababab=++−⎡⎤⎣⎦()()1sincossinsin2ababab=++−⎡⎤⎣⎦()()1cossinsinsin2ababab=+−−⎡⎤⎣⎦6.万能公式22tan2sin1tan2aaa=+221tan2cos1tan2aaa−=+22tan2tan1tan2aaa=−7.平方关系22sincos1xx+=22secn1xtax−=22csccot1xx−=8.倒数关系tancot1xx⋅=seccos1xx⋅=csin1csxx⋅=9.商数关系sintancosxxx=coscotsinxxx=十六、几种常见的微分方程1.可分离变量的微分方程：()()dyfxgydx=，()()()()11220fxgydxfxgydy+=2.齐次微分方程：dyyfdxx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠3.一阶线性非齐次微分方程：()()dypxyQxdx+=解为：()()()pxdxpxdxyeQxedxc−⎡⎤∫∫=+⎢⎥⎣⎦∫