近似数与有效数字

近似数与有效数字摘要：近似数与有效数字是中考必考内容，本文介绍了什么是近似数及有效数字，已知一个近似数如何判断其精确度及有效数字，如何按要求求近似值等内容。关键词：判断；精确度；误区近似数与有效数字是中考必考内容，其具有很广泛的实际应用，但有些同学在学完这些知识后感觉含糊不清，下面对常出现的问题给于作答。1、近似数和有效数字的有关概念（1）近似数：与实际结果非常接近的数，称为近似数，在实际问题中，不仅存在大量的准确数，同时也存在大量的近似数，出现近似数有两点：一是完全准确是办不到的，如：我国的陆地面积约有960万平方公里；二是有时是没有必要的，如：买1000克白菜有时可能多一点，也可能少一点。（2）有效数字：使用近似数，就是一个近似程度的问题。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个不是零的数字起，到精确的数字止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。如：小亮的身高为1.78米，这个近似数1.78精确到百分位，它有三个有效数字：1、7、8.（3）熟悉精确度的两种形式，一是精确到哪一位，二是保留几个有效数字，它们是不一样的。精确到哪一位，可以表示出误差绝对值的大小，如在测量楼的高度时，精确到0.1米，这说明结果与实际误差不大于0.05，而有效数字则可以比较几个近似数中哪一个更精确。如：1.60就比1.6更精确一些。2、近似数的判断（1）小范围可数的数据一般为精确的，其它加上人为因素的一般是近似的，如测量得到的数据。例：“小花班上有50人”中的50就是精确数，而“小明的身高1.64米”中的1.64是近似数，还如：“小丽体重45公斤”中的45也是近似数。（2）语句中带有“大约，左右”等词语，里面出现的数据是近似数。例：“某次海难中，遇险人数大约3000人”中的3000是一个近似是数。3、已知一个近似数如何去判断其精确度和有效数字（1）普通形式的数,这种数能直接判断。例1下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？①45.8；②0.03068；③36解①45.8，精确到十分位（即精确到0.1），有三个有效数字4、5、8.②0.03086，精确到十万分位（精确到0.00001），有效数字四个3、0、8、6.③36，精确到个位，有效数字两个3、6.（2）科学记数法表示的近似数的判断方法对于用科学记数法表示的近似数，有效数字只看“×10n”前面的部分，在确定其精确到哪一位时，需先将科学记数法表示的数还原成小数或整数，再看科学记数法中“a”的最右边的数字所处的位置，这也就它精确的位数。对于有效数字，a里面的每一位数字都是有效数字。如：近似数2.35×104中“a”的最右边的数字是5，又2.35×104还原后是23500，而5在23500中百位上，所以2.35×104精确到百位。有效数字是2、3、5.例2下列用科学记数法表示的近似数，各精确到哪一位，有几个有效数字？①2.18×105；②4.30×102解①2.18×105=218000,8在千位上，所以精确到千位，有效数字是2、3、8、三个。②4.30×102=430,0在个位上，所以精确到个位，有效数字是4、3、0三个。(3)带文字单位数的判断方法带有文字单位的近似数，在看其精确到哪一位时，紧挨文字前面的那位数字在整个数中所处的位数就是精确的位数。如：2.3万中，2.3万=23000，3在千位，所以精确到千位，有两个有效数字2、3.例3、下列近似数近似到哪一位？①36万，②5.1亿解：①36万=360000，精确到万位，有两个有效数字3、6.②5.1亿=510000000，精确到千万位，有两个有效数字5、1.4、如何根据要求取近似值（1）小于10的数如：0.02076(保留三个有效数字)，只需从左第一个非零数字起对第四个数进行四舍五入即0.02076≈0.0208，再如：1.5972（精确到0.01）只需退后一位进行四舍五入即1.5972≈1.60例4、用四舍五入法，按要求取近似值①0.0456（保留两个有效数字）；②2.789（精确到十分位）解：①0.0456≈0.046②2.789≈2.8（2）大于10的数如：360315（保留三个有效数字）这类数字用科学计数法表示成a×10n的形式，使“a”要求保留有效数字就行了，所以360315≈3.60×105（保留三个有效数字）如：46178(精确到百位)，用四舍五入法将数字末尾变成含零的形式，若精确到十位，末尾将变成一个零，若精确到百位，则末尾将变成两个零，依次类推，所以46178≈46200=4.62×104（精确到百位）例5用四舍五入法，按要求取近似值①70250（精确到千位）②14592（保留两个有效数字）解：①70250=7.0250×104≈7.0×104（精确到千位）②14592≈15000=1.5×104（保留两个有效数字）5、警惕零的两种误区（1）近似数最前面的数0，不能当做有效数字。如：近似数0.0052有两个有效数字5、2，而不能是五个。（2）近似数最后面的数0，不能随便省略如：近似数5.030×103不能略写成5.03×103近似数0.003410有四个有效数字3、4、1、0，而不是3、4、1两个。6、近似数与有效数字的错误例析（1）判断精确到的位数出错例1：下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？①1.300；②1.12×104③12.5亿错解：①精确到十分位②精确到0.01③精确到十分位分析：①近似数1.300小数点后有三位，应精确到千分位，错解在忽视了3后面的0.②近似数1.12×104中的2在百位上，所以应精确到百位，而不是精确到百分位。③对于带有单位的近似数，也应该看最后一位本质表示什么数。12.5亿中5是在千万位上的，所以近似数12.5亿是精确到千万位。正解：①1.300精确到千分位②1.12×104精确到百位③12.5亿精确到千万位（2）判断有效数字个数出错例2：下列由四舍五入得到的近似数各有几个有效数字？①1.30×105；②1.03万；③0.070错解：①1.30×105有八个有效数字；②1.03万有五个有效数字，1，0，3，0，0③0.070有一个有效数字为7分析：确定一个近似数的有效数字有三种情况：①近似数是简单的整数或小数的，应从左边第一个不是零的数字起到精确到的数字止，所有的数字都是有效数字；②用科学计数法表示的近似数的有效数字只看乘号前面的数字；③有单位的近似数看单位前面的本质位数。正解：①1.30×105有三个有效数字1、3、0②1.03万有三个有效数字1、0、3③0.070有两个有效数字7、0(3)按要求取近似值出错例3：用四舍五入法，按要求取近似数①2.34043（精确到千分位）②2.8950（精确到0.01）③0.01896（保留三个有效数字）④2897（保留两个有效数字）错解：①2.34043≈2.34②2.8950≈2.9③0.01896≈0.01④2897≈29分析：①精确到千分位也就是精确到小数点后三位，错解在精确到百分位了;②精确到0.01即小数点后面有两位数字，错解在2.90=2.9了；③错在对有效数字概念不理解，前面的两个零不是有效数字；④错在没有补上位数正解：①2.34043≈2.340②2.8950≈2.90④2897≈2.9×103(4)不考虑实际情况例4有612千克的大米，用能装50千克的袋子装运，需要多少条这样的袋子？错解：512÷50=12.24≈12，所以用12条袋子。分析：这是一道实际问题，在解决此实际问题时，不能用四舍五入法，而应用“进一法”，即用13条袋子。正解：512÷50=12.24，所以用13条袋子。参考文献：刘淑艳.《零失误》.吉林人民出版社.2009：63-77王迈迈.《实战检测王》.延边人民出版社.2009：17-22洪鸣远.《中华题王》.新蕾出版社.2009：23-28魏龙梅.《金榜夺魁》.光明日报出版社.2009：33-36河北教科所编写《数学同步》.河北人民出版社.200922-27