反比例函数K的几何意义专题

xy0xy0⑴如图①，点P(2,1)是反比例函数图象上的任意一点，PD⊥x轴于D，则⊿POD的面积为1图①P(2,1)DoyxDoxy2S⊿OPD=PDOD2111221则垂足为轴的垂线作过上任意一点是双曲线设,,)0(),(AxPkxynmPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyxk想一想？OAPSAPOA21nm21k21P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?||21||||2121knmAPOASOAP如图：点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且⊿AOB的面积S⊿AOB=2，则k=xky-4分析：由性质1可知，S⊿AOB=∴k=±4,∵k0，∴k=-422||k如图，过反比例函数图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，设AC与OB的交点为E，⊿AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得()A．S1S2B．S1=S2C．S1S2D．S1和S2的大小关系不确定)0(2xxyB如图，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt⊿AOB的面积为S1，Rt⊿OCD的面积为S2，则（）A．S1S2B．S1S2C．S1=S2D．S1和S2的大小关系不确定解:由性质1，S⊿OAB=S⊿OCD，可知选CoA(m,n)yxCBDCxy1如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，BC∥x轴，⊿ABC的面积为S，则（）A．S=1B．1S2C．S=2D．S2S△ABC=2|k|=2CACoyxBxy1如图，设P(m，n)关于原点的对称点P′(－m，－n)，过P作x轴的垂线与过P′作y轴的垂线交于A点，则S⊿PAP′=||2kPPASPAAP21nm2221k2如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为．xy4A(m,n)oyxBP点评：将△ABO通过“等积变换”同底等高变为△ABPC(2009,甘肃兰州)如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，⊿OAB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小xyOAB3(0)yxxCC如图，已知点P(2,1)在函数y=（x＞0）的图像上，PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为.2P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxBk上任意一点是双曲线设)0(),(kxynmPAPOASOAPB矩形nmk过点P分别做x轴，y轴的垂线，垂足分别为A,B（如图所示）如图，点P是反比例函数图象上的一点，过P分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别为A,C,阴影部分的面积为3，则这个反比例函数的解析式是xy3)0(kxky如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为.1yx3yx2BoyxCADEFS1S2S32．如图②，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S3=1，则S1+S2=xy3图②33S1S2S34分析：由性质2得，S1+S3=S2+S3=3将S3=1代入得，得，S1=S2=2∴S1+S2=4如图，已知双曲线经过长方形OCED的边ED的中点B，交CE于点A，若四边形OAEB的面积为2，则k的值为BEoyxDCA图④)0(kxky2分析：由性质⑴知，S⊿OAC=S⊿OBD=，由S矩形OCED=S⊿OAC+S⊿OBD+SOCED=4S⊿OBD得，，解得，k=224222kkk21．如图，双曲线经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB交于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）)0(kxkyxy1xy2xy3xy6EBoyxCADB2k2432kk∴K=2分析：由BACD探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，n)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。xmyyxxooABoo解：⑴将A(1，8)代入中得：m=1×8=8，故所求函数解析式为∴B(4,n)将A(1，8)和B(4，2)代入y=kx+b中得：解得：故所求的一次函数的解析式为：y=－2x+10xmyxy8248bkbk102bk先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，n)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。xmy⑵解法1：设直线y=－2x+10与x轴、y轴分别交于点C，DyxooABooCD(1，8)(4，2)(5,0)(0，10)EF则C(5,0)，D(0,10)，于是S⊿OAB==25－5－5=15BOCAODDOCSSS探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，2)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。xmy⑵解法2：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B点作BD⊥x轴于D由性质（1）知：S⊿OAC=S⊿OBD=4，∴S⊿OAB=S⊿OAC+S梯形ACDB－S⊿OBD=4+－4=15yxxooABooCD3)82(21(1，8)(4，2)探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，2)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。xmyyxxooABooCDE⑵解法3：如图，过A作AC⊥x轴于点C，过B点作BD⊥x轴于点D,CA与DB相交于E点，由A(1，8)和B(4，2)的坐标可知点E的坐标为(4，8)，由性质（1）知，S⊿OAC=S⊿OBD=4，∴S⊿OAB=S矩形ODEC－S⊿OAC－S⊿OBD－S⊿ABE=32－4－4－9=15思考题：一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y=的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，EF.有下列四个结论：其中正确的结论是_____.①△CEF与△DEF的面积相等；②FE∥AB；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．kx通过这节课的学习，你有什么收获？⑴反比例函数图象上任意一点“对应的直角三角形”面积S1与k值有什么关系？⑵反比例函数图象上任意一点“对应的矩形”面积S2与k值有什么关系？