同态与同构

5-8同态与同构这一节我们将讨论两个代数系统之间的联系。着重研究两个代数系统之间的同态关系和同构关系。定义5-8.1：设A,★和B,*是两个代数系统，★和*分别是A和B上的二元（n元）运算，设f是从A到B的一个映射，使得对任意的a1,a2∈A,有f(a1★a2)=f(a1)*f(a2)，则称f为由A,★到B,*的一个同态映射(homomorphismmapping)，称A,★同态于B,*,记作A~B。把f(A),*称为A,★的一个同态象(imageunderhomomorphism)。其中f(A)={x|x=f(a),a∈A}B例1考察代数系统I,，这里I是整数集，是普通的乘法运算。如果我们对运算只感兴趣于正、负、零之间的特征区别，那么代数系统I,中运算结果的特征就可以用另一个代数系统B,⊙的运算结果来描述，其中B={正，负，零}，是定义在B上的二元运算，如表5-8.1所示。表5-8.1⊙正负零正负零正负零负正零零零零作映射f:I→B如下：正若n0f(n)=负若n0零若n=0很明显，对于任意a,b∈I，有f(ab)=f(a)⊙f(b)因此，映射f是由I,到B,⊙的一个同态。例1告诉我们，在I,中研究运算结果的正、负、零的特征就等于在B,⊙中的运算特征可以说，代数系统B,⊙描述了I,中运算结果的这些基本特征。而这正是研究两个代数系统之间是否存在同态的重要意义。注：由一个代数系统到另一个代数系统可能存在着多于一个的同态。定义5-8.2：设f是由A,★到B,*的一个同态，如果f是从A到B的一个满射，则f称为满同态；如果f是从A到B的一个入射，则f称为单一同态；如果f是从A到B的一个双射，则f称为同构映射，并称A,★和B,*是同构的(isomorphism)，记作A≌B。例2.设f:R→R定义为对任意x∈R，f(x)=5x，那么，f是从R,+到R,·的一个单一同态。f(x+y)=5x+y=5x·5y=f(x)·f(y)f为入射。因为x1≠x2，则5x1≠5x2,即f(x1)≠f(x2)。又因为5x0,所以f不是满射。例3.设f:N→Nk定义为对任意的x∈N，f(x)=xmodk，那么，f是从N,+到Nk,+k的一个满同态。f(x+y)=(x+y)modk=(xmodk)+k(ymodk)=f(x)+kf(y);又f是满射。而f(1)=f(K+1)=1∈Nk,f不是入射。例4.设H={x|x=dn,d是某一个正整数，n∈I}，定义映射f:I→H为对任意n∈I，f(n)=dn，那么，f是I,+到H,+的一个同构。所以I≌H。f(m+n)=d(m+n)=dm+dn=f(m)+f(n);又f是双射。例题1：设A={a,b,c,d}，在A上定义一个二元运算如表5-8.2所示。又设B={α,β,γ,δ},在B上定义一个二元运算如表5-8.3所示。证明A,★和B,*是同构的。表5-8.2表5-8.3★abcdabcdabcdbaacbddcabcd*αβγδαβγδαβγδβααγβδδγαβγδ证明：考察映射f,使得f(a)=α，f(b)=β，f(c)=γ，f(d)=δ显然，f是一个从A到B的双射，由表5-8.2和表5-8.3，容易验证f是由A,★到B,*的一个同态。因此，A,★和B,*是同构的。如果考察映射g,使得g(a)=δ，g(b)=γ，g(c)=β，g(d)=α那么，g也是由A,★到B,*的一个同构。由此例我们知道，当两个代数系统是同构的话，它们之间的同构映射可以是不唯一的。定义5-8.3：设A,★是一个代数系统，如果f是由A,★到A,★的同态，则称f为自同态。如果g是由A,★到A,★的同构，则称g为自同构。定理5-8.1：设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价关系。证明：因为任何一个代数系统A,★要以通过恒等映射与它自身同构，即自反性成立。关于对称性，设A,★≌B,*且有对应的同构映射f,因为f的逆是由B,*到A,★的同构映射，即B,*≌A,★。最后，关于传递性，如果f是由A,★到B,*的同构映射，g是由B,*到C,Δ的同构映射，那么g。f就是A,★到C,Δ的同构映射。这是因为对于a,bA,有f(a★b)=f(a)*f(b),而c,dB,有g(c*d)=g(c)Δg(d)；所以a,bA,有g。f(a★b)=g(f(a★b))=g(f(a)*f(b))=g(f(a))Δg(f(b))=g。f(a)Δg。f(b)。因此，同构关系是等价关系。定理5-8.2：设f是从代数系统A,★到代数系统B,*的同态映射。（a）如果A,★是半群，那么在f作用下，同态象f(A),*也是半群。（b）如果A,★是独异点，那么在f作用下，同态象f(A),*也是独异点。（c）如果A,★是群，那么在f作用下，同态象f(A),*也是群。证明：(a)设A,★是半群且B,*是一个代数系统，如果f是由A,★到B,*的一个同态映射，则f(A)B。对于任意的a,b∈f(A)，必有x,y∈A使得f(x)=a,f(y)=b在A中，必有z=x★y，所以a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)∈f(A)最后，*在f(A)上是可结合的，这是因为：对于任意的a,b,c∈f(A),必有x,y,z∈A,使得f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c因为★在A上是可结合的，所以a*(b*c)=f(x)*(f(y)*f(z))=f(x)*f(y★z)=f(x★(y★z))=f((x★y)★z)=f(x★y)*f(z)=(f(x)*f(y))*f(z)=(a*b)*c因此，f(A),*是半群。(b)设A,★是独异点，e是A中的幺元，那么f(e)是f(A)中的幺元。这是因为对于任意的a∈f(A)必有x∈A使f(x)=a，所以a*f(e)=f(x)*f(e)=f(x★e)=f(x)=a=f(e★x)=f(e)*f(x)=f(e)*a因此，f(A),*是独异点。(c)设A,★是群。对于任意的a∈f(A)必有x∈A使f(x)=a，因为A,★是群，故x有逆元,且f(x-1)∈f(A)，而f(x)*f(x-1)=f(x★x-1)=f(e)=f(x-1★x)=f(x-1)*f(x)所以，f(x-1)是f(x)的逆元。即f(x-1)=f(x)-1。因此，f(A),*是群。定义5-8.4：设f是由群G,★到群G’，*的同态映射，e’是G’中的幺元，记Ker(f)={x|x∈G且f(x)=e’},称Ker(f)为同态映射f的核，简称f的同态核。定理5-8.3：设f是由群G,★到群G′,*的同态映射，则f的同态核K是G的子群。证明：由定理5-8.2可知，e=f(e)。设k1,k2∈K,则f(k1★k2)=f(k1)*f(k2)=e*e=e故k1★k2∈K。对任意的k∈K,由定理5-8.2可知f(k-1)=f(k)-1=e-1=e故k-1∈K。因此，K,★是G,★的子群。定义5-8.5：设A,★是一个代数系统，并设R是A上的一个等价关系。如果当a1,a2,b1,b2∈R时，蕴涵着a1★b1,a2★b2∈R,则称R为A上关于★的同余关系。由这个同余关系将A划分成的等价类就称为同余类。定理5-8.4：设A,★是一个代数系统，R是A上的一个同余关系，B={A1，A2，…,Ar}是由R诱导的A的一个划分，那么，必定存在新的代数系统B,*,它是A,★的同态象。证明：在B上定义二元运算*为：对于任意的Ai,Aj∈B,任取a1∈Ai,a2∈Aj,如果a1★a2∈Ak,则Ai*Aj=Ak。由于R是A上的同余关系，所以，以上定义的Ai*Aj=Ak是唯一的。作映射f(a)=Ai，a∈Ai。显然，f是从A到B的满映射。对于任意的x,y∈A,x,y必属于B中的某两个同余类，不妨设x∈Ai,y∈Aj,1≤i,j≤r;同时，x★y必属于B中某个同余类，不妨设x★y∈Ak,于是，就有f(x★y)=Ak=Ai*Aj=f(x)*f(y)因此，f是由A,★到B,*的满同态，即B,*是A,★的同态象。定理5-8.5：设f是由A,★到B,*的一个同态映射，如果在A上定义二元关系R为：a,b∈R当且仅当f(a)=f(b)，那么，R是A上的一个同余关系。证明：因为f(a)=f(a),所以a,a∈R。若a,b∈R,则f(a)=f(b)即f(b)=f(a),所以b,a∈R。若a,b∈R,b,c∈R则f(a)=f(b)=f(c),所以a,c∈R。最后，又因为若a,b∈R,c,d∈R,则有f(a★c)=f(a)*f(c)=f(b)*f(d)=f(b★d)所以，a★c,b★d∈R。因此，R是A上的同余关系。形象地说，一个代数系统的同态象可以看作是当抽去该系统中某些元素的次要特性的情况下，对该系统的一种粗糙描述。如果我们把属于同一个同余类的元素看作是没有区别的，那么原系统的性态可以用同余类之间的相互关系来描述。作业（5-8）P221(2),(3)