初中三角函数知识点总结及中考真题讲解(1)

1锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(∠A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(∠A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(∠A为锐角)BAcottanBAtancotAAcot1tan(倒数)1cottanAA余切的对边的邻边AAAcotabAcot0cotA(∠A为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°sin02122231cos12322210tan03313-cot-313306、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：222cba；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。)90cot(tanAA)90tan(cotAABAcottanBAtancot)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsincosA90B90得由BA对边邻边斜边ACBbacA90B90得由BA2仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。要点一：锐角三角函数的基本概念一、选择题1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A．35B．43C．34D．45【解析】选C.tan43角的邻边角的对边.2.（2008·威海中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝13，则sinB＝（）A．1010B．23C．34D．31010【解析】选D.31tanABBCA,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得,10)3(2222kkkBCACAB310sin10ACBAB3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC，则sinB的值是（）:ihlhlα3A．23B．32C．34D．43【解析】选A.连接CD,由O⊙的半径为32.得AD=3.sinB=.32sinADACD4.（2009·湖州中考）如图，在RtABC△中，ACBRt，1BC，2AB，则下列结论正确的是（）A．3sin2AB．1tan2AC．3cos2BD．tan3B【解析】选D在直角三角形ABC中，1BC，2AB，所以AC＝3；所以1sin2A＝，3cos2A＝，3tan3A；3sin2B＝，1cos2B＝，tan3B；5.（2008·温州中考）如图，在RtABC△中，CD是斜边AB上的中线，已知2CD，3AC，则sinB的值是（）A．23B．32C．34D．43【解析】选C.由CD是RtABC△斜边AB上的中线，得AB=2CD=4.∴sinB43ABAC6.（2007·泰安中考）如图，在ABC△中，90ACB，CDAB于D，若23AC，32AB，则tanBCD的值为（）（A）2（B）22（C）63（D）33答案：BACBD4二、填空题7.（2009·梧州中考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，53sinA，则AB的长是cm．【解析】,536sinABABBCA解得AB=10cm答案：108.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sin．【解析】因为P（3，4），所以OP＝5，所以4sin5；答案：45；9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A，则这个菱形的面积=cm2．【解析】.5310sinDEADDEA解得DE=6cm.∴10660LINGSABDEcm2.答案：60三、解答题10.(2009·河北中考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=1213．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），∴ED=12CD=12（m）．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE=EDOD=1213，∴OD=13（m）．（2）OE=22ODED=2213125=（m）AOBECD5∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．11.（2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE．（1）求证：ABE△DFA≌△；（2）如果10ADAB，=6，求sinEDF的值．【解析】（1）在矩形ABCD中，90BCADADBCB，∥，°DAFAEBDFAEAEBC，90AFDB°=AEADABEDFA△≌△．（2）由（1）知ABEDFA△≌△6ABDF在直角ADF△中，22221068AFADDF2EFAEAFADAF在直角DFE△中，222262210DEDFEF210sin10210EFEDFDE．12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=54，AB=15，求△ABC的周长和tanA的值．【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15Asin=ABBC=54,∴12BC912152222BCABAC∴周长为36,BC124tanA.AC9313.（2008·肇庆中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，求sinA和tanA的值.【解析】在Rt△ABC中，c=5，a=3．∴22acb22354∴53sincaADABCEF643tanbaA．14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tancosBDAC，(1)求证：AC=BD；(2)若12sin13C，BC=12，求AD的长．【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tanB=ADBD，cosDAC=ADAC又已知tancosBDAC∴ADBD=ADAC．∴AC=BD．(2)在Rt△ADC中，12sin13C，故可设AD=12k，AC=13k．22DCACAD5kADADBD13ktanBcosDACBC13k5k122k,AD8.3要点二、特殊角的三角函数值一、选择题1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（）A．32B．22C．12D．33答案：C2.（2009·长春中考）．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC°，，则点B的坐标为（）A．(21)，B．(12)，C．(211)，D．(121)，答案：C3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米B．83米C．833米D．433米7答案：C4.（2008·宿迁中考）已知为锐角，且23)10sin(，则等于（）Ａ．50Ｂ．60Ｃ．70Ｄ．80答案：Ｃ5.（2008·毕节中考）A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（）A．1323，B．3323，C．1323，D．1322，答案：A6.（2007·襄樊中考）计算：2cos45tan60cos30等于（）（A）1（B）2（C）2（D）3答案：C二、填空题7.（2009·荆门中考）104cos30sin60(2)(20092008)=______．【解析】104cos30sin60(2)(20092008)3314()122213()1232答案：238.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是米．（结果保留根号）．答案：439.（2008·江西中考）计算：（1）1sin60cos302．【解析】1sin60cos302.412143212323答案：1410.（2007·济宁中考）计算sin60tan45cos30的值是。答案：0三、解答题11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°【解析】3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°8111133012.（2009·崇左中考）计算：0200912sin603tan30(1)3°°．【解析】原式=33231123=0．13.（2008·义乌中考）计算：33sin602cos458【解析】33sin602cos4583232222=2.5要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米B．83米C．833米D．433米【解析】选C.梯子的长至少为33860sin40（米）.2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（）A．14B．4C．117D．417答案：A3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.cos5B.cos5C.sin5D.sin59答案：B4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5mB．6mC．7mD．8m【解析】选A由坡度为0.75知，相邻两树间的水平距离为4m，相邻两树间的垂直距离为h，则0.754h，则h＝3m，所以坡面距离为5m；5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边