数学建模的概念、方法和意义

第2章数学建模概述2.1节数学建模的概念、方法和意义2.1.1数学模型的概念和分类数学模型（MathematicalModel）是由数字、字母或者其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法.2.1.1数学模型的概念和分类数学模型可以按照数学方法来分类，例如：初等模型、几何模型、图论模型、组合模型、微分方程模型、线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型、目标规划模型、遗传算法模型、神经网络模型、统计回归模型、马氏链模型、排队论模型等.2.1.1数学模型的概念和分类数学模型可以按照表现特性来分类，例如：线性模型与非线性模型（取决于模型的基本数量关系是否是线性的）、离散模型与连续模型（取决于模型中的变量（主要是时间）是离散的还是连续的）、静态模型与动态模型（取决于是否考虑时间引起的变化）、确定性模型与随机性模型（取决于是否考虑随机因素的影响）.2.1.1数学模型的概念和分类数学模型可以按照应用领域来分类，例如：人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型等；范畴更大一些则形成许多边缘学科，例如：生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等.数学模型还可以按照建模目的来分类，例如：描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等.2.1.2数学建模的全过程数学建模（MathematicalModeling）是建立数学模型解决实际问题的全过程，包括数学模型的建立、求解、分析和检验四大步骤（见下图）.现实对象的信息建立求解分析数学模型现实对象的解答数学模型的解答检验2.1.2数学建模的全过程（1）数学模型的建立，就是指从现实对象的信息提出数学问题，选择合适的数学方法，识别常量、自变量和因变量，引入适当的符号并采用适当的单位制，提出合理的简化假设，推导变量和常量所满足的数量关系，表述成数学模型.2.1.2数学建模的全过程（2）数学模型的求解，就是指运用所选择的数学方法求解数学模型.采用适当的计算机软件能够扩大可解决的问题的范围，并能减少计算错误.求解数学模型的常用软件有：Maple、Mathematica等计算机代数系统（computeralgebrasystem，CAS）；MATLAB、Lingo等数值计算软件；SAS、SPSS等统计软件；Excel等电子表格处理软件……2.1.2数学建模的全过程（3）数学模型的分析，就是指对数学模型的解答进行数学分析，包括对结果的误差分析或统计分析、模型对数据的灵敏度分析、模型对假设的强健性分析.灵敏性（sensitivity）是指当数学模型的某个参数改变时模型解答的变化程度.在灵敏的情况下，一旦参数发生微小变化，模型的解答就会发生显著的变化，会给模型检验和模型应用带来困难.数学建模需要仔细的做灵敏度分析.2.1.2数学建模的全过程在数学建模的实践中，没必要对所有参数都进行灵敏度分析，需要对哪些参数进行灵敏度分析要从实际意义出发考虑参数的不确定程度.有些参数实际上是稳定的，其观测值是准确可靠的；另一些参数实际上经常变动，观测、估计或预测所得的参数值往往会包含不小的误差.显然，前一种参数没有做灵敏度分析的必要，而后一种参数的不确定性会影响模型解答的可信性，所以灵敏度分析非常有必要.2.1.2数学建模的全过程强健性就是模型假设相对于实际情况的精确程度对模型解答的影响.从现实对象到数学模型，需要提出一些模型假设，假设相对于实际情况的精确程度，会影响数学模型能否取得符合或近似现实对象信息的解答.如果模型假设相对于实际情况的精确程度对模型解答的影响不大，就称该数学模型是强健的（robust）；反之，如果数学模型的解答很依赖于某个假设相对于实际情况的精确程度，就称该数学模型是脆弱的（fragile）.2.1.2数学建模的全过程由于在数学建模的过程中都要对实际情况作出一定的简化假设，所以对数学模型进行强健性分析是很有必要的.在学习数学建模课程的过程中，我们会发现很多数学模型是强健的，也就是说，虽然模型建立在较强的假设上，假设对实际情况做出了较多的简化，但是模型解答已经符合或近似现实对象的信息，已经获得预期的建模效果.2.1.2数学建模的全过程（4）数学模型的检验，就是指把数学模型的解答解释成现实对象的解答，给出实际问题所需要的分析、预报、决策或控制的结果，检验现实对象的解答是否符合现实对象的信息（包括实际的现象、数据或计算机仿真），从而检验数学模型是否合理、是否适用.2.1.2数学建模的全过程如果检验的结果说明该数学模型不够合理、不适用于实际对象，首先要考虑最初从实际对象的信息提出的数学问题以及选择的数学方法是否适当，是否要重新提出数学问题、重新选择数学方法；其次要考虑在模型建立阶段所提出的简化假设是否合理，是否足够，通过修改假设，或补充假设，重新建模.正如图2.1所示，数学建模的过程往往需要经历反复和完善，直到满意.2.1.2数学建模的全过程数学建模取得满意的结果以后，可以根据实际对象的需要进一步应用所建立的数学模型来解决其它实际问题，这就是模型应用.最后，我们要理解数学建模的局限性：数学模型是对现实对象简化之后得到的抽象化、理想化的产物，所以数学模型应用于实际问题的时候，结论的通用性和精确性只是相对的和近似的.2.1.3数学建模论文的撰写数学建模论文可以包括以下几个部分（论文结构应根据需要灵活的安排）：（1）题目（title）：要简练准确、高度概括、恰如其分的向读者传递论文的范围和水平；（2）摘要（summary）：在论文之前，简明扼要的介绍研究的课题、建立的模型和取得的结果，使读者能迅速的了解论文的论题和成果，判断值不值得继续阅读全文；2.1.3数学建模论文的撰写（3）问题重述（restatementoftheproblem），或者问题澄清（clarificationoftheproblem），或者引言（introduction）：按照作者对问题的理解，陈述论文要研究的实际问题，包括背景和任务；（4）问题分析（analysisoftheproblem）：陈述作者对实际问题的分析和提出的数学问题，陈述作者为建立数学模型选择采用的数学方法，陈述建立数学模型的动机和思路；2.1.3数学建模论文的撰写（5）符号说明（expositionofvariables）：列表说明论文所用到的变量和常量的数学符号及意义和单位制；（6）模型假设（expositionofassumptionsandhypotheses）：用简练准确的语言列举建立数学模型所用到的简化假设，包括考虑哪些主要因素、忽略那些次要因素、变量满足什么数量关系；2.1.3数学建模论文的撰写（7）模型建立和求解（designandsolutionofthemodel）：根据模型假设推导出数学模型（表达式、算法或图表），运用所选择的数学方法以及相应的计算机软件，得到数学模型的解答；（8）模型分析和检验（analysisandtestingofthemodel）：给出对模型的误差分析、统计分析、灵敏度分析、强健性分析等，把数学模型的解答翻译成现实对象的解答，根据现实对象的信息来进行检验，或者根据题目要求通过计算机仿真进行检验；2.1.3数学建模论文的撰写（9）模型评价（discussofthemodel）：实事求是的讨论模型的优点和缺点、改进方向、推广应用价值等；（10）参考文献（reference）：列举论文当中引用的文献资料或数据的来源，包括序号、作者、文献名称、文献类型标识、出版地、出版者、出版年、被引用部分的起止页码；2.1.3数学建模论文的撰写（11）附录（appendix）：求解数学模型用到的计算机程序源代码、不适合放置在正文的图形和表格.另外，由于数学建模往往是跨学科跨领域合作研究的一个组成部分，因此还可能需要用非技术性的语言撰写报告，避免使用数学符号和数学术语，使得无论是其它专业领域的专家，还是公众，只要是能理解原来的现实对象的人，就能够理解数学建模的成果.2.1.4数学建模的方法1.机理分析和测试分析机理分析方法，就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，尤其是从变化率、守恒律等角度入手分析，找出反映内部机理的数量规律，从而建立数学模型.采用机理分析方法建立的数学模型常有明确的物理或现实意义.测试分析方法，就是当研究对象内部机理无法直接寻求的时候，可以测量系统的输入、输出数据，运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型.2.1.4数学建模的方法2.灵活性，成本和逼真度解决实际问题有观察、试验、仿真以及建立数学模型等方法.由于较容易根据所搜集的资料的不同情况来给数学模型提出不同的假设和条件，所以建立数学模型具有较好的灵活性.建立数学模型不需要很多的人力物力的投入，成本相对比较低.2.1.4数学建模的方法2.灵活性，成本和逼真度数学模型是根据研究目的针对现实对象建立的一种模型，逼真度（fidelity）就是数学模型刻画现实对象的精确程度，在解决实际问题的几种方法当中，数学模型有可能获得较好的逼近度.但是逼真度和成本是一对矛盾，数学模型越逼真，就越复杂，越难于处理，成本也越高，高成本不一定与复杂模型取得的效益相匹配，所以建立数学模型的时候，需要在逼真度和成本之间做出折衷和选择，提出合理的简化假设.2.1.4数学建模的方法3.由简到繁和删繁就简复杂实际问题的数学建模往往要经过建模过程的反复迭代，由简到繁，或者删繁就简，才获得越来越满意的模型.虽然大多数实际问题是随机的、动态的、非线性的，但是数学建模一般从相当简单的模型开始，先考虑比较容易处理的确定性的、静态的、线性的模型，求出初步的近似的解答，然后根据模型检验的结果改进模型.2.1.4数学建模的方法3.由简到繁和删繁就简改进模型的技巧有：扩大问题，增添某些变量，考虑每个变量的细分，让某些参数变化，假设非线性的关系，减少假设等；如果一开始就考虑得太复杂，就会难以构造出模型，或构造出的模型难以求解，这时就必须简化模型：缩小问题，忽略某些变量，集中多个变量的作用，令某些变量为常数，假设简单的（线性的）关系，增加假设等.2.1.4数学建模的方法4.连续化和离散化根据研究对象是随着时间（或空间）连续变化还是离散变化，可以建立连续模型或者离散模型.连续模型便于利用微积分求出解析解，并做理论分析，而离散模型便于在计算机上做数值计算.在数学建模的过程中，连续模型离散化、离散变量视作连续变量都是常用方法.典型的例子有微分方程模型及其数值解.2.1.4数学建模的方法5.相似类比法数学模型是现实对象抽象化、理想化的产物，可以从现实对象的所属领域转而应用于到另外的领域，显示出数学模型的可转移性.相似类比法，就是将新的研究对象与另一个已经建立数学模型获得解答的研究对象进行类比，比较二者之间的相似之处，从而采用同样的数学方法，建立同类型的数学模型.例如水流与交通流.由于实际问题是各种各样、千变万化的，往往需要修改已有的数学模型，使之适用于新的研究对象.2.1.4数学建模的方法结语虽然建立数学模型有一定的步骤和方法可供参考，但是不像数学解题研究那样能总结出若干条普适的规则和技巧，除了需要掌握扎实的数学模型基础知识以外，还需要积累数学建模的经验.数学建模过程是创造性思维的过程，需要发挥想象力、洞察力、判断力、直觉、灵感的作用.2.1.5学习数学建模的意义数学是研究数量关系和空间形式的科学，是研究模式的科学，在人类的文明史中，数学一直和人类生活的实际需要密切相关.数学模型是用数学解决实际问题的关键.在数学史上，欧几里德几何、平面和球面上的三角学、代数方程和方程组、指数和对数、微积分、幂级数、傅里叶级数等数学理论和方法同时也都是很有用的数学模型，牛顿发现万有引力定律、傅里叶建立热传导方程、麦克斯韦建立电磁场基本方程都是数学模型成功应用于物理学领域的范例.2.1.5学习数学建模的意义随着数学的发展，产生出更多新的数学理论分支，同时也诞生出更多新的数学模型，在大学本科的数学课程里，无论是分析、代数、数论、几何、拓扑等，