随机过程第三章-泊松过程

第一节泊松过程的基本概念第三章泊松过程定义3.1(计数过程)随机过程称为计数过程,如果}0),({ttN)(tN表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数.由定义,计数过程具有以下两个特点:(1)取值为非负的整数;)(tN(2)时,且表示时段内事件A发生的次数.ts)()(tNsN)()(sNtN],(ts如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着,与)(tN)()(tNstN相互独立.定义3.2(泊松过程)计数过程称为参数为}0),({ttN)0(的泊松过程,如果:(1);0)0(N(2)有独立增量;)(tN(3)对任意的,有0,ts,!)(})()({tnentnsNstNP,2,1,0n由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t的区间中事件的个数服从参数(均值)为的泊松分布.t在实际过程中,条件(3)的验证存在着一定的困难,为此我们给出泊松过程另一个等价定义.若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度,则称计数过程有平稳增量.这就意味着此时与有相同的分布.)(tN)()(12stNstN)()(12tNtN)(tN定理3.1计数过程称为泊松过程,参数为}0),({ttN),0(如果(1);0)0(N(2)过程有平稳与独立增量;(3));(}1)({hohhNP(4)).(}2)({hohNP若是参数为的泊松过程,则有ttNE))((于是可以认为是单位时间内事件发生的平均次数.称为泊松过程的强度、风险率或速率.}0),({ttN强度为的泊松过程的数字特征：0001.,ENttENtNttt；00002.,000,NNDNttDNtNttttNtENttDtDNtt，特别地，，由假设，可得：；3.,,,,0NNCstDminstminstst，；24.,,,,0NNNNRstCststminststst，。(),0{(5)4};{(5)4,(7.5)6,(12)9};{(12)9(5)4};(4){(5)4(12)9};(5)[(5)],[(5)],[(5),(12)].NttPNPNNNPNNPNNENDNCovNN例12：设{}服从参数为的泊松过程，求(1)(2)(3)45(1)P54(5)4!Ne解：(2)54,(7.5)6,(12)954,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3PNNNPNNNNN4522.534.5[(5)4!][(2.5)2!][(4.5)3!]eee例1(5)E[N(5)]=5,55,DN(3)(12)9(5)4(12)(5)5(5)4PNNPNNN(4)(5)4(12)9(5)4,(12)9(12)9PNNPNNPN57(12)(5)5(7)5!PNNe(5)4(12)(5)5(12)9PNPNNPN455749449912(5)4!(7)5!551.1212(12)9!eeCe[(5),(12)]55.CovNNDN例2事件A的发生形成强度为的泊松过程.如果每次事件发生时以概率能够记录下来,并以表示到t时刻被记录下来的事件总数,证明是一个强度为p的泊松过程.p}0),({ttN)(tM}0),({ttM证满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也满足第三个条件.)(tM显然,的可能取值为并且由全概率公式,有,,2,1,0)(tM0})({})(|)({})({nntNPntNmtMPmtMP而mn0})(|)({ntNmtMP若mnmppmnntNmtMP)1(})(|)({若mn由题意tnntntNPe!)(})({于是tnmnmmnntppmnmtMPe!)()1(})({mnmnmnmmtmntpmtp)!()()1(!)(e)1(e!)(eptmmtmtptpmmpte!)(所以,是一个强度为的泊松过程.}0),({ttMp第二节与泊松过程相联系的若干分布预备知识(1)函数定义为:zxzzzde)(01(2)有关函数的几个重要公式:)()1(zzz!)1(nn21(3)若随机变量的概率密度为X0,00,)()(1xxexxfx则称服从参数为的分布,记为X,),(~X当时,就是参数为的指数分布.1(4)分布关于参数具有可加性.即若),,(~1X),,(~2Y且与独立,则XY),(~21YX引理设相互独立且均服从参数为的指数分布,则有nXXX,,,21),(~21nXXXn(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记为第次事件发生的时刻,是第次与第次事件发生的时间间隔.nTnnXn1n一.和的分布nXnT定理3.2服从参数为的指数分布,且相互独立.nX)1(n证当时,有0t}0)({1}{1}{)(111tNPtXPtXPtF所以0,00e1)(1tttFt又即相互独立且均服从参数为的指数分布.21,XX}|0)()({}|{112sXsNtsNPsXtXP}0)({}0)()({tNPsNtsNPte重复以上的推导可证定理之结论.定理3.3),(~nTn证由于niinXT1故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.注:1的概率密度为),(n)!1()()(1ntexfntTn)0(t})({}{ntNtTn2.由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.定义3.3设是计数过程,如果它的相继到达时间间隔序列相互独立且服从相同的指数分布,则称为泊松过程.}0),({ttN)(tN定理3.2的直接推论设泊松过程的强度为,记为过程的到达间隔,则X1)(XE引理(无后效性或无记忆性)设随机变量服从参数为的指数分布,则,0,0xt}{}|{xXPtXxtXP证}{}|{xXPtXxtXP}{}{}{},{xXPxtXPxXPxXxtXP}{eee)(xXPxtxtXX第三节泊松过程的推广一、非齐次泊松过程定义3.4计数过程称为强度为的非齐次泊松过程,如果}0),({ttN0)(t(1);0)0(N(2)过程有独立增量;(3));()(}1)()({hohttNhtNP(4)).(}2)({hohNP令,则有如下的等价定义.tsstm0d)()(定义3.5计数过程称为强度为的非齐次泊松过程,如果}0),({ttN0)(t(1);0)0(N(2)过程有独立增量;(3)对于任意的实数服从参数为)()(,0,0tNstNststtduutmstm)()()(的泊松分布.定理定义3.4与定义3.5是等价的.证只需证)]}()([exp{!)]()([})()({tmstmntmstmntNstNPn证明过程将要用到母函数的概念,从略.例3.7设某设备的使用期限是10年,在使用期限内,如果出现故障则需要维修.设出现故障的计数过程是一个非齐次的泊松过程,并且已知前5年它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次.求它在使用期内只维修过一次的概率.解由题意,强度函数为10521505.21)(ttt则在使用的期限(10年)内,故障发生的次数服从参数为5.4215.21)()10(10550100dtdtdttm)0()10(NN的泊松分布,故5.4)5.4(}1)0()10({eNNP二.复合泊松过程定义3.6称随机过程为复合泊松过程,如果对于,它可以表示为如下形式}0),({ttX0t)(1)(tNiiYtX其中是一个泊松过程,是一族独立同分布的随机变量,并且与独立.}0),({ttN}0),({ttNnYY,,1例3.3设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.第个顾客在商店购物支付的款数记作,并设相互独立同分布,则在时段中商店的营业额iiY,,21YY],0(t)(1)(tNiiYtX是一个复合泊松过程.例3.4设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.定理3.6设是一复合泊松过程,其中泊松过程的强度为,则)(tN(1)具有独立增量;)(tX)(1)(tNiiYtX(2)若均存在,则221)(,)(iiYEYE,)]([1ttXE2)]([ttXD证(1)令由于具有独立增量性,故,10nttt)(1)(11)()(kktNtNiikkYtXtXnk,,2,1相互独立,即具有独立增量性.)(tN)(tX(2)（2）的证明需要用到矩母函数（略）.例3.10在保险中的索赔模型中,设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.每次赔付为均值为10000元的正态分布,则一年中保险公司平均赔付额是多少?解由题意,有,故所求的值为10000,12,21t240000)]10([1tXE(元)三.条件泊松分布在实际问题中,常常会出现这样的情形,此时某些意外事件出现的频率是不能预先确定的,往往是一个随机变量,而当频率确定时,意外事件出现的规律就是一个泊松过程.这就是本节所要研究的条件泊松过程.定义3.7设是具有分布的正值随机变量,如果在给定的条件下,计数过程服从参数为的泊松过程,则称是条件泊松过程.)(G}0),({ttN}0),({ttN由定义可知,如果是条件泊松过程,则有}0),({ttN)(d!)(})()({0GnetnsNstNPtn定理3.7设是条件泊松过程,且,则}0),({ttN)(2E(1)];[)]([tEtNE(2)).()()]([2tEDttND证)(][)]|)(([)]([tEtEtNEEtNE(1)(2)22)]([()]([)]([tNEtNEtND])[(])[(])[(]|)(([2222EtttEtEtNEE)()(2tEDt例3.11设意外事故的发生频率受某种未知因素影响有两种可能,且21,,}{1pP,1}{2qpP10p为已知,并且已知到时刻已发生了次事故.(1)求下次事故在之前不会到来的概率;(2)发生的频率是的概率.tnst1解(1)所求的概率为})(|0)()({ntNtNstNP})({})(,0)()({ntNPntNtNstNP2121}{}|)({}|)(,0)()({}{iiiiiiPntNPntNtNstNPPtntntsntsneptpeteptpet2121)1()()()1()()(21)(2)(1tntntsntsnepepepe