华师大版-数学-八年级上册-学案：直角三角形的判定

初中-数学-打印版初中-数学-打印版直角三角形的判定课前知识管理1.勾股定理的逆定理“如果三角形三边分别为A.b、c，且满足a2＋b2＝c2.那么这个三角形是直角三角形．”我们在判断一个三角形是不是直角三角形时，可直接运用这个逆定理．如图所示，在△ABC中，如果AC2＋BC2＝AB2，那么△ABC就是直角三角形．2．勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别联系：（1）两者都与a2＋b2＝c2有关，（2）两者所讨论的问题都是直角三角形.区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法．名师导学互动典例精析：知识点：勾股定理逆定理例1、已知三角形的三边长分别为①7，40，42；②53，54，1；③2mn，（m2-n2），（m2+n2）2，是直角三角形的序号是.【解题思路】运用勾股定理的逆定理判断.对于①72+402=49+1600=1649，422末位是4，故72+402≠422；对于②（53）2+（54）2=259+2516=2525=1；对于③（2mn）2+（m2－n2）2=4m2n2+m4－2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2.【解】填②③.【方法归纳】如果三角形的三边长A.B.c（c为最大边）有下面关系a2+b2=c2，那么这个三初中-数学-打印版初中-数学-打印版角形是直角三角形.对应练习：如图所示，在某市的地图上有三个景点A.B.C，已知景点A.B之间的距离为0．4cm，景点C.D之间的距离为0．3cm，景点A.C之间的距离为0．5cm，问这三个景点为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？知识点2：勾股定理及其逆定理的综合运用例2、如图，在四边形ABCD中，90A，且3AB，12BC，13CD，4AD，求四边形ABCD的面积．【解题思路】连接BD，由已知条件，易知5BD，抓住数字特征：“5，12，13”，联想勾股定理的逆定理，可得BCD△是直角三角形，于是，求出RtABD△与RtBCD△的面积之和，即为四边形ABCD的面积．【解】连接BD，由90A，知ABD△是直角三角形，由勾股定理，得22BDABAD22345．又22251213，即222BDBCCD，所以BCD△是直角三角形．于是，1134622ABDSABAD△，115123022BCDSBDBC△，63036ABDBCDABCDSSS△△四边形．【方法归纳】在运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形时，一是要根据三角形中的三条边，看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方；二是注意将一组勾股数同时扩大或缩小同样的倍数所得数仍是勾股数．对应练习：如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B.C.E在同一条直线上，初中-数学-打印版初中-数学-打印版连结BD，则BD2的长为.知识点3：运用勾股定理逆定理判定三角形的形状例3、已知：在△ABC中，∠A.∠B.∠C的对边分别是A.B.c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）判定△ABC是否为直角三角形．【解题思路】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大．②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值．③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．【解】由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故可以判定△ABC是直角三角形．【方法归纳】要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大，根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可．知识点3：运用勾股定理逆定理计算线段长度例4、如图，在ΔABC中，D是BC边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长．【解题思路】已经知道了AD=12，AC=15，要求DC的长，只需知道∠ADC为直角即可，而△ABD的三边知道，可以由勾股定理逆定理判定∠ADB为直角，从而得出∠ADC为直角.【解】在ΔABD中，由AD2+BD2=122+52=132=AB2，可知AD2+BD2=AB2，则由勾股定理的逆定理知∠ADB=90º，在RtΔADC中，DC2=152-122=81=92.所以DC=9.【方法归纳】当题目中要求的问题与线段的长有关时，用勾股定理来解答是常见思路.对应练习：已知:如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15.求证:△ABC为等腰三角形.初中-数学-打印版初中-数学-打印版知识点4：运用勾股定理逆定理计算图形面积例4、如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°，且AB=9，BC=20，CD=12，求四边形ABCD的面积.【解题思路】连结BD，如图，由已知条件易知BD=15，通过观察“15，20，25”这组数，可知这组数是我们熟悉的一组勾股数，那么根据勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，于是，求出Rt△ABD与Rt△BCD的面积之和，即可求得四边形ABCD的面积.【解】连结BD，如图.由∠A=90°知△ABD是直角三角形，根据勾股定理得BD2=AB2+AD2=92+122=225=152，所以BD=15.又因为“15、20、25”是一勾股数，即152+202=252，故BD2+BC2=CD2，则根据勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，故有：15020152121,541292121ABDBCBDSADABSBCDS四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=54+150=204.【方法归纳】要求三角形的面积，首先要确定这个三角形的形状，是否是直角三角形，可由直角三角形的判别方法来判别，如果是直角三角形，它的面积就易于求得，若不是直角三角形，其面积也能求出，但过程相对要繁琐些.对应练习：有如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，,900ADCAB=13米，BC=12米，求这块地的面积.知识点5：运用勾股定理逆定理证两角互补初中-数学-打印版初中-数学-打印版例5、已知:如图，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，090B.求证:∠A与∠C互补.【解题思路】由勾股定理，求得AC，加上其他条件，再由勾股定理的逆定理知△ADC也为直角三角形，再求得角度的关系.【解】连结AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得.6252015222AC而在△ADC中，,62572422222ACCDAD故由勾股定理的逆定理知△ADC也为直角三角形.∠DAB+∠DCB=0360-∠B-∠D=,18090903600000即∠A与∠C互补.【方法归纳】在△ADC中运用勾股定理逆定理判断三角形形状，进而计算出∠D的度数.对应练习：如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，F在CD上，且DF=3CF.求证:AE⊥EF.（提示：连接AF）知识点6：运用勾股定理逆定理求角度数例6、在四边形ABCD中，已知：AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且,900B求∠DAB.【解题思路】根据AB:BC=2:2，,900B所以△ABC是等腰直角三角形，所以,450BAC再根据勾股定理的逆定理判定.900DAC初中-数学-打印版初中-数学-打印版【解】连结AC，设DA=x，则AB=BC=2x，CD=3x.故在Rt△ABC中，,450BAC由勾股定理，得.822222222xxxBCABAC∴由勾股定理的逆定理知△DAC为直角三角形，,900DAC故.1359045000DAB【方法归纳】已知线段的比时，可引入辅助元素来表示.对应练习：如图所示，在△ABD中，∠A是直角，AB＝3，AD＝4，BC＝12，DC＝12，求∠BDC的度数.知识点7：勾股数例7、下列各组数是勾股数是的有_______（只填序号）.①12，15，18；②3，4，5；③1.5，2，2.5.【解题思路】因为32418,3691512222，所以222181512，所以12、15、18不是勾股数；因为255,2543222，所以222543，所以3，4，5是勾股数；虽然2225.225.1，但1.5、2.5不是整数，所以1.5、2、2.5不是勾股数.【解】填②.【方法归纳】满足的三个正整数称为勾股数。每组勾股数的整数倍仍是勾股数，例如3、4、5是一组勾股数，3、4、5的2倍6、8、10，3倍9、12、15等都是勾股数.给定三个正整数，只要能验证其中最大的数的平方等于其他两数的平方和，这组数就一定是勾股数.对应练习：试说明21,21,22nnn（其中n大于1的正奇数）是一组勾股数.易错警示1、审题不仔细，受定势思维影响例8、在△ABC中，,,ABC的对边分别为,,abc，且2()()ababc，则（）初中-数学-打印版初中-数学-打印版（A）A为直角（B）C为直角（C）B为直角（D）不是直角三角形错解：选（B）错解分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C，因而有同学就习惯性的认为C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为222abc，即222abc，因根据这一公式进行判断.正解：222abc，∴222abc.故选（A）2、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理例9、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）（A）1、2、3（B）2223,4,5（C）1,2,3（D）3,4,5错解：选（B）错解分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足222abc的形式.正解：因为222123，故选（C）.课堂练习评测考点1：用勾股定理逆定理判定三角形形状1、三角形的三边为（1）9，40，41；（2）4，6，8；（3）6，8，10；（4）5，13，12；（5）24，25，7；（6）8，15，16，其中能构成直角三角形的有（）A.3组B.4组C、5组D.6组2、如图所示，A.B.C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P点的位置应在（）.（友情提醒：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点初中-数学-打印版初中-数学-打印版3、若三角形的三条边abc，，满足关系式4222240abcacb，则此三角形形状是_______．考点2：用勾股定理逆定理计算角的度数4、如图，在四边形ABCD中，:::2:2:3:1ABBCCDDA，且90B，求：BAD的度数．考点3：用勾股定理计算线段长度5、Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为___________.考点4：勾股数6、有一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是下列选项中的（）.A.13、12、12B.12、12、8C.13、10、12D.5、8、47、下列四组数：（1）9，12，15；（2）7，24，25；（3）2225,4,3；（4）3a，4a，5a（a＞0）中，可以构成直角三角形的边长的有（）A.4组B.3组C.2组D.1组课后作业练习1、在Rt△ABC中，若AC＝3，BC＝13，AB＝4，则下列结论中正确的是（）．初中-数学-打印版初中-数学-打印版A．∠C＝90°B．∠B