第七章-小波变换和多分辨率处理

第七章小波变换和多分辨率处理张萍电子科技大学光电信息学院E-mail:[e-mail]参考资料教材：RafaelC.Gonzalez,etc，DigitalImageProcessing(ThirdEdition)，电子工业出版社，2010参考书籍：（美）多布著，李建平译，小波十讲，国防工业出版社，2011孙延奎著，小波变换与图像、图形处理技术，清华大学出版社，2012朱希安，曹林编著，小波分析及其在数字图像处理中的应用，电子工业出版社，2012“小波”（wavelet)就是一种“尺度”很小的波动，并具有时间和频率特性。时间A时间B什么是小波？小波函数必须满足以下两个条件：(1)小波必须是振荡的；(2)小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局部化的。如：图1小波例1图2小波例2小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为“数学显微镜”。小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探、流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、故障诊断、分形、数值计算等已有重大突破。小波分析发展简史时间标志性事件人物1822Fourier变换，在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。如：δ函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力。Fourier1910提出规范正交基。Harr1946Gabor变换(STFT)，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。Gabor1984提出连续小波变换。Morlet1985提出离散小波变换。Meyer,Daubecies1986Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。Meyer1987统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。Mallat1988Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座。DaubeciesInridDaubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filterbanks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实。RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。在信号处理领域中，自从InridDaubechies完善了小波变换的数学理论和StephaneMallat构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等。小波理论与工程应用傅里叶变换与小波变换傅里叶变换的基础函数是正弦函数。小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和有限的持续时间。傅里叶变换与小波变换傅里叶变换反映的是图像的整体特征，其频域分析具有很好的局部性，但空间(时间)域上没有局部化功能。与傅里叶变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在一起，其优势很明显—某种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。本章将从多分辨率的角度解释小波变换。主要内容背景多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包主要内容背景图象金字塔子带编码哈尔变换多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包1.背景物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用较高的分辨率观察。物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨率。物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合用不同的分辨率对其进行研究。从数学观点看，图像是一个亮度的二维矩阵，边界和强烈变化的区域局部直方图统计特性不同。无法对整个图象定义一个简单的统计模型。一幅自然图像及其直方图的局部变化1.背景(1)图像金字塔以多分辨率来解释图像的一种简单有效的结构。一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合。金字塔的底部是带处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。基础级J的大小为N×N（J=log2N）顶点级0的大小为1×1第j级的大小为2j×2j（0jJ）共有J+1级，但是通常我们截短到P＋1级，其中1PJJ-1级近似输出用来建立近似值金字塔；作为金字塔基级的原始图像和它的P级减少的分辨率近似都能直接获取并调整；J级的预测残差输出用于建立预测残差金字塔；近似值和预测残差金字塔都通过迭代计算获得。金字塔方框图(1)图像金字塔(1)图像金字塔迭代算法1.初始化，原始图象大小2J×2J，j＝J2.j-1级，以2为步长进行子抽样，计算输入图像减少的分辨率近似值——j-1级近似值，生成子抽样金字塔。3.对j-1级近似值进行步长为2的内插，并进行过滤，生成与输入图像等分辨率的预测图像。4.计算输入图像和预测图像之间的差异，产生预测残差金字塔。5.重复2、3、4步骤。图象的高斯近似值金字塔，分辨率分别为：512×512，256×256，128×128，64×64。金字塔的分辨率越低，伴随的细节越少;低分辨率图像用于分析大的结构或图像的整体内容，高分辨率图像用于分析单个物体的特性。相应拉普拉斯预测残差金字塔，分辨率分别为：512×512，256×256，128×128，64×64。从低级开始通过内插和滤波获得高级高斯金字塔的预测残差图象。(1)图像金字塔两种图像金字塔和它的统计特性。（a）高斯金字塔（近似），（b）拉普拉斯金字塔（预测残差）(a)(b)子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限带分量的几何，称为子带。子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信息损失的抽样原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单个子带来完成(2)子带编码系统输入是一个一维的带限时间离散信号x(n)分析滤波器h0(n)和h1(n)是半波数字滤波器，理想传输函数H0,H1如下图所示。H0低通滤波，输出x(n)的近似值H1高通滤波，输出x(n)的高频或细节部分综合滤波器g0(n)和g1(n)为重构的结果nxˆ(2)子带编码（a）一维子带编码和解码的两频带滤波器组，（b）频谱分离特性(a)(b)序列x(n)的Z变换时域以2为因子的抽样对应到Z域同样，以2为因子的内插对应的变换为X(n)先抽样再内插得到,...1,0zznxzXn2/12/1212zXzXzXnxnxdowndown20..4,2,02zXzXnnxnxupup其它nxˆzXZnxzXzXzXˆˆˆ121(2)子带编码系统输出滤波h0(n)的输出整理第二项含有－z，代表了抽样-内插过程带来的混叠kzXzHkxknhnxnh000*(2)子带编码)]()()()()[(21)]()()()()[(21)(ˆ111000zXzHzXzHzGzXzHzXzHzGzX)()]()()()([21)()]()()()([21)(ˆ11001100zXzGzHzGzHzXzGzHzGzHzX对于输入的无失真重建，假定下列条件：矩阵表达2011001100zGzHzGzHzGzHzGzH消除混叠消除幅度失真02110010zHzHzHzHzGzGnhngnhngnhngnhngnnnn01011120101111&zHm1100zHzHzHzH令(2)子带编码分析调制矩阵证明分析滤波器和综合滤波器双正交24zHzGzPzHzHzzHzGm001011det2HzHzHzzHzGzPm1000det2HzzmmHHdetdet21100zGzHzGzHnknhkgknhkgzHzGzHzGkkn2100000000nknhkgknhkgk2,20000由性质，以及奇次方相互抵消(2)子带编码将H0和G0表示成G1和H1的函数02,02,2,011011knhkgknhkgnknhkg1,0,2,jinjiknhkgji(2)子带编码满足该条件的滤波器组称为具有双正交性分析滤波器和综合滤波器满足上述条件，所以具有双正交性(2)子带编码(正交镜像滤波器)(共轭正交滤波器)完美重建滤波器族一维滤波器用于图像处理的二维可分离滤波器可分离滤波器首先应用于某一维（如水平方向），在应用于另一维（如垂直方向）a(m,n),dV(m,n),dH(m,n)和dD(m,n)分别表示近似值、垂直细节、水平细节和图象的对角线细节子带(2)子带编码4个8抽头Daubechies正交滤波器的冲激响应。(2)子带编码低通滤波器h0(n)的系数为：-0.01059740，0.03288301，0.03084138，-0.18703481，-0.02798376，0.63088076，0.71484657，0.23037781。其余正交滤波器参数可以通过公式计算获得。adHdVdD(2)子带编码花瓶的4频段子带编码花瓶图像从512×512到256×256子带的近似子带a、水平子带dH，垂直子带dV和对角线子带dDdH和dV有混叠是由于对可分辨窗口进行抽样造成的，可以通过综合滤波器重建时消除。它的基函数是最普遍也最简单的正交小波。哈尔变换本身对称、可分离，矩阵表示：T=HFHTF是N×N图象矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的结果哈尔基函数1,01000zNzhzh1,02/2/5.02/5.02/102212/2/zqzqqzqNzhzhpppppppqk其它，(3)哈尔变换N×N哈尔变换矩阵第i行包含元素hi(z)，其中z=0/N,1/N,…,(N-1)/N。例如，N=4时，k,p,q的值如右：则，4×4变换矩阵H42×2变换矩阵H22200002211121111414H(3)哈尔变换kpq0123001101122111112H离散小波变换的哈尔函数64×64128×128256×256图示为哈尔基函数对图像的多分辨率分解，离散小波变换包含了与原始图像相同的像素数其局部统计数据相对稳定，并且容易给出模型。大多数数据接近0，可以进行大量的压缩；原始图象的粗和细分辨近似可以从中提取子图象进行重建。主要内容背景多分辨率展开序列展开尺度函数小波函数一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包2.多分辨率展开图像金字塔、子带编码和哈尔变换，在数学理论多分辨率分析中扮演了重要角色。在多分辨率分析(MRA)中，尺度函数被用于建立某一函数或图像的一系列近似值，相邻两近似值之间的近似度相差2倍。被