2019年向量的数量积和向量积.ppt

第二节向量的数量积和向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积三、小结一物体在常力F作用下沿直线从点1M移动到点2M，以s表示位移，则力F所作的功为cos||||sFW(其中为F与s的夹角)启示向量a与b的数量积为ba，即cos||||baba(其中为a与b的夹角)实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义一、两向量的数量积abcos||||babacosθPrja|b|b,||cosPrj,baa||Prjaabab||Prj.bba数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.关于数量积的说明：(2)0(0,0)abab.ba)(,0ba,0||a,0||b,0cos.ba22(1)||.aaaa)(,ba,0cos||||cos0.abab,0.||cos||||2aaaaa证证,2,2数量积符合下列运算规律：（1）交换律：;abba（2）分配律：;)(cbcacba（3）若为数：),()()(bababa若、为数：).()()(baba,kajaiaazyxkbjbibbzyx设ba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx,kji,0ikkjji||||||1,ijk.1kkjjiiab该式为数量积的坐标表达式.xxyyzzababab数量积的坐标表达式:||||cosababcos,||||abab222222cosxxyyzzxyzxyzabababaaabbb该式为两向量夹角余弦的坐标表示式.ab0.xxyyzzababab由此可知:例1已知}4,1,1{a，}2,2,1{b，求(1)ba；(2)a与b的夹角；(3)a在b上的投影.解ba)1(2)4()2(111.9222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa91,1892(3)||PrjbabbaPrj3.||babab.43例2证明向量c与向量acbbca)()(垂直.证[()()]acbbcac])()[(cacbcbca])[(cacabc0[()()]acbbcac设O为一根杠杆L的支点，有一力F作用于这杠杆上P点处．力F与OP的夹角为，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模||||||MOQF||||sinOPFM的方向垂直于OP与F所决定的平面,指向符合右手系.实例二、两向量的向量积LFPQO向量a与b的向量积为cabsin||||||bac(其中为a与b的夹角)定义c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.关于向量积的说明：.0)1(aa)0sin0(ba)2(//0ab(0,0).ab向量积也称为“叉积”、“外积”.向量积符合下列运算规律：（1）.abba（2）分配律：.)(cbcacba（3）若为数：).()()(bababa(),0ba,0||a,0||b,0sin0,或)(0sin.0sin||||||baba证ba//0,或ab//0.ab,xyzaaiajakxyzbbibjbk设ba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx,kji,0kkjjii,jik,ikj,kij.jki,ijk()()()yzzyxzzxxyyxababiababjababk该式为向量积的坐标表达式.向量积的坐标表达式:向量积还可用三阶行列式表示xyzxyzijkabaaabbbzzyyxxbababa由此也可推出ab()()()yzzyxzzxxyyxababiababjababkzzyxbaaa000,0.xyaa补充:||ba数值上表示以a和b为邻边的平行四边形的面积.xb、yb、zb不能同时为零，但允许两个为零，例如，abbac例3求与kjia423，kjib2都垂直的单位向量.解zyxzyxbbbaaakjibac211423kji,510kj,55510||22c||ccec.5152kjABCD例4在顶点为)2,1,1(A、)2,6,5(B和)1,3,1(C的三角形中，求AC边上的高BD.解{0,4,3}AC{4,5,0},AB三角形ABC的面积为1||2SABAC22216121521,225||AC224(3)5,1||||2SACBD2515||22BD||5.BDBDABAC{15,12,16}.例5设向量pnm,,两两垂直，符合右手规则，且4||m，2||n，3||p，计算pnm)(.解||||||sin(,)mnmnmn4218,0),(pnmpnm)(cos||||pnm83124.依题意知nm与p同向，向量的数量积向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个向量）三、小结已知向量0a，0b，证明2222)(||||||bababa.思考题思考题解答22||||ba22||||ba.)(2ba||||||sin(,)2222ababab222||||[1cos(,)]abab222||||cos(,)abab一、填空题：1、已知a=3，b=26，ba=72,则ba=_________；2、已知（,ab）=32，且a=1，b=2，则2)(ba=______________；3、ba的几何意义是以ba,为其邻边的_________；4、三向量cba,,的混合积[cba]=()abc的几何意义是______；5、两向量的的内积为零的充分必要条件是至少其中有一个向量为________，或它们互相________；6、两向量的外积为零向量的充分必要条件是至少其中有一个向量为__________，或它们互相______；练习题7、设kjia23，kjib2,则ba=____，ba=_______,ba3)2(=_______,ba2=_________，),cos(ba=__________；8、设a=kji32,kjib3和,2jic则()()abcacb=_____________,()()abbc_____________,cba)(=_________________.二、已知cba,,为单位向量，且满足0cba，计算accbba.三、设质量为100千克的物体从点)8,1,3(1M沿直线移动到点)2,4,1(2M计算重力所作的功（长度单位为米，重力方向为Z轴负方向）.四、设4,1,2,2,5,3ba，问与怎样的关系能使行zba与轴垂直.五、应用向量证明：1、三角形的余弦定理；2、直径所对的圆周角是直角.六、已知cba,,两两垂直，且cbascba求,3,2,1的长度与它和cba,,的夹角.七、计算以向量212eep和212eeq为边的三角形的面积，其中1e和2e是相互垂直的单位向量.练习题答案一、1、30；2、3；3、平行四边形的面积；4、以cba,,为邻边的平行六面体的体积；5、零向量,垂直；6、零向量,平行；7、3,2123,14210,18,75kjikji；8、2,,248kjkj.二、23.三、5880焦耳.四、2.六、141arccos),(,14ass,141arccos),(bs,),(cs143arccos.七、25.