大一高数期末考试复习题及答案

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．210lim()xxxex.2．1200511xxxxeedx.3．设函数()yyx由方程21xytedtx确定，则0xdydx.4.设xf可导，且1()()xtftdtfx，1)0(f，则xf.5．微分方程044yyy的通解为.二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0k，则函数kexxxfln)(在),0(内零点的个数为（）.(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程43cos2yyx的特解形式为（）.（A）cos2yAx;（B）cos2yAxx;（C）cos2sin2yAxxBxx;（D）xAy2sin*.3．下列结论不一定成立的是（）.（A）若badc,,,则必有badcdxxfdxxf;（B）若0)(xf在ba,上可积,则0bafxdx;（C）若xf是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有TTaadxxfdxxf0;（D）若可积函数xf为奇函数,则0xtftdt也为奇函数.4.设xxeexf11321,则0x是)(xf的（）.(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）1．计算定积分2230xxedx.2．计算不定积分dxxxx5cossin.本页满分36分本页得分本页满分12分本页得分3．求摆线),cos1(),sin(tayttax在2t处的切线的方程.4.设20()cos()xFxxtdt，求)(xF.5．设nnnnnxnn)2()3)(2)(1(，求nnxlim.四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1．求由曲线2xy与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.2．设平面图形D由222xyx与yx所确定，试求D绕直线2x旋转一周所生成的旋转体的体积.3.设1,aatatft)(在(,)内的驻点为().ta问a为何值时)(at最小?并求最小值.五．证明题（7分）设函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12fff，试证明至少存在一点(0,1),使得()=1.f一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1．210lim()xxxex21e.2．1200511xxxxeedxe4.3．设函数()yyx由方程21xytedtx确定，则0xdydx1e.4.设xf可导，且1()()xtftdtfx，1)0(f，则xf221xe.5．微分方程044yyy的通解为xexCCy221)(.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：本页满分12分本页得分本页满分15分本页得分本页满分18分本页得分本页满分7分本页得分1．设常数0k，则函数kexxxfln)(在),0(内零点的个数为（B）.(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程xyy2cos34的特解形式为（C）（A）cos2yAx；（B）cos2yAxx；（C）cos2sin2yAxxBxx；（D）xAy2sin*3．下列结论不一定成立的是（A）(A)(A)若badc,,,则必有badcdxxfdxxf;(B)(B)若0)(xf在ba,上可积,则0bafxdx;(C)(C)若xf是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有TTaadxxfdxxf0;(D)(D)若可积函数xf为奇函数,则0xtftdt也为奇函数.4.设xxeexf11321,则0x是)(xf的（C）.(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（每小题6分，5题共30分）：1．计算定积分2032dxexx.解：202020322121,2ttxtdedttedxextx则设-------2200221dtetett-------22223210221eeet--------22．计算不定积分dxxxx5cossin.解：xdxxxxxddxxxx4445coscos41)cos1(41cossin--------3Cxxxxxdxxxtan41tan121cos4tan)1(tan41cos43424-----------33．求摆线),cos1(),sin(tayttax在2t处的切线的方程.解：切点为)),12((aa-------22tdxdyk2)cos1(sinttata1-------2切线方程为)12(axay即axy)22(.-------24.设xdttxxF02)cos()(，则)(xF)cos()12(cos222xxxxx.5．设nnnnnxnn)2()3)(2)(1(，求nnxlim.解：)1ln(1ln1ninninx---------2101)1ln(1)1ln(limlnlimdxxnnixninnn--------------2=12ln211)1ln(1010dxxxxx------------2故nnxlim=ee412ln2四．应用题（每小题9分，3题共27分）1．求由曲线2xy与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.解：设切点为),00yx（，则过原点的切线方程为xxy2210，由于点),00yx（在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400yx.-----3过原点和点)2,4(的切线方程为22xy-----------------------------3面积dyyys)222(202=322-------------------3或322)2221(2212042dxxxxdxs2．设平面图形D由222xyx与yx所确定，试求D绕直线2x旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：21VVV10221021022)1(12)2()11(2dyyydyydyy-------6)314(201)1(31423y--------3法二：V=102)2)(2(2dxxxxx101022)2(22)2(2dxxxdxxxx------------------5102234222)22(dxxxxxx322134213234141201)2(3222232xx-------------43.设1,aatatft)(在(,)内的驻点为().ta问a为何值时)(at最小?并求最小值.解:.lnlnln1)(0ln)(aaataaatft得由---------------30)(ln1lnln)(2eeaaaaat得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当ateaateaateaeee-----2故.11ln1)(,)(eeeetateaee最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12fff，试证明至少存在一点(0,1),使得()=1.f证明：设()()Fxfxx，()Fx在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0ff,有(0)(0)00,(1)(1)11FfFf,---------------2又由1()=12f，知11111()=()-=1-=22222Ff，在1[1]2，上()Fx用零点定理，根据11(1)()=-022FF，---------------2可知在1(1)2，内至少存在一点，使得1()=0(,1)(0,1)2F，,(0)=()=0FF由ROLLE中值定理得至少存在一点(0,)(0,1)使得()=0F即()1=0f，证毕.--------------3