平面内一点到圆上所有点连线段最长(短)问题

平面内一点到圆上所有点连线段最长（短）问题基本结构和结论：如图，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离.证明：如图，在⊙O上取异于A、B两点A’、B’，连接PA’、OA’、OB’、PB’.由三角形两边之和大于第三边，得PA’+OA’PO而PO=PA+OA,OA=OA’则，PA’+OA’PA+OA时有，PA’PA同法可证：PBPB’所以，PA是点P到⊙O上的点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离.A’B’变式：如图，当P是⊙O内的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离.证明：如图，在⊙O上取异于A、B两点A’、B’，连接PA’、OA’、OB’、PB’.由三角形两边之和大于第三边，得PA’+POOA’而OA’=OA,所以，PA’+OPOA=PA+PO所以，PA’PA同法可证：PBPB’所以，PA是点P到⊙O上点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离.问题1：设P为⊙O外的一点，点P到⊙O上点的最短距离为3，最长距离为7.求⊙O的半径r.解：根据题意，作图，可知，PA=3，PB=7.所以，直径AB=PB-PA=7-3=4所以，⊙O的半径r等于2.变式：设P为⊙O所在平面内的一点，点P到⊙O上点的最短距离为3，最长距离为7.求⊙O的半径r.解：如图①，当点P在⊙O外时，直径AB=PB-PA=4.如图②，当点P在⊙O内时，直径AB=PB+PA=10.综上，⊙O的半径等于2或5.正方形ABCD的边长为2，点E、F是边AD上的动点，且AE=DF，连接CF、BD,交于点G，连接BE、AG，交于点H，连接DH。则DH最短等于__________.问题2：解：∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG∴△ADG≌△CDG∴∠DAG=∠DCG∵AB=CD,∠BAE=∠CDF,AE=DF∴△BAE≌△CDF∴∠ABE=∠DCF∴∠ABE=∠DAG∵∠DAG+∠BAH=90°∴∠ABE+∠BAH=90°∴∠AHB=90°∴点H在以AB为直径的圆M上运动，如图，当M、H、D三点共线时，DH最短=15