函数的单调性与导数-优秀获奖课件

1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数主题1函数的单调性与导数的关系1.观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系，(1)观察图象，完成下列填空.图①中的函数y=x的导函数y′=__，此函数的单调递增区间为___________;图②中的函数y=x2的导函数y′=___，此函数的单调递增区间为_________，单调递减区间为_________.1(-∞，+∞)2x(0，+∞)(-∞，0)图③中的函数y=x3的导函数y′=___，此函数的单调递增区间为___________;图④中的函数y=的导函数y′=____，此函数的单调递减区间为___________________.3x2(-∞，+∞)1x21x(-∞，0)，(0，+∞)(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系，思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系？提示:根据(1)中的结果可以看出，函数的单调区间与导函数的正负有关，当导函数在某区间上大于0时，此时对应的函数为增函数，当导函数在某区间上小于0时，此时对应的函数为减函数.2.观察下图，请完成下表:区间(-∞，a)(a，b)(b，+∞)y=f(x)增___增切线斜率___负___f′(x)______0减正正00结论:在区间(a，b)内函数的单调性与导数的关系导数函数的单调性f′(x)0单调递___f′(x)0单调递___f′(x)=0常函数增减【对点训练】1.函数f(x)=x+lnx在(0，6)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在上是减函数，在上是增函数D.在上是增函数，在上是减函数1(0)e，1(0)e，1(6)e，1(6)e，【解析】选A.因为x∈(0，6)，所以f′(x)=1+0，故函数在(0，6)上单调递增.1x2.已知函数f(x)=+lnx，则有()A.f(2)f(e)f(3)B.f(e)f(2)f(3)C.f(3)f(e)f(2)D.f(e)f(3)f(2)x【解析】选A.因为在定义域(0，+∞)上，f′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3).11x2x【补偿训练】函数y=2-3x2在区间(-1，1)上的增减性为()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增【解析】选C.y′=-6x，故当x∈(-1，0)时，y′0;当x∈(0，1)时，y′0，所以原函数在区间(-1，1)上先增后减.主题2函数变化的快慢与导数的关系1.在同一坐标系中画出函数y=2x，y=3x，y=，y=x2，y=x3的图象.x提示:这几个函数的图象如图所示.2.观察以上函数的图象，当x0时，函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比，你发现了什么？提示:增长速度快的，导函数值大，增长速度慢的，导函数值小.结论:函数变化的快慢与导数间的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的____________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之，函数的图象就“平缓”.绝对值较大导数符号导数变化原函数图象变化大于0为正导数越来越___越来越陡峭导数越来越___越来越平缓小于0为负导数越来越___越来越平缓导数越来越___越来越陡峭大小大小【对点训练】1.函数f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象可能是()【解析】选D.从原函数y=f(x)的图象可以看出，其在区间(-∞，0)上是减函数，f′(x)0;在区间(0，x1)上是增函数，f′(x)0;在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)0;在区间(x2，+∞)上是增函数，f′(x)0.结合选项可知，只有D项满足.2.已知导函数y=f′(x)的图象如图所示，请根据图象写出原函数y=f(x)的单调递增区间是________.【解析】从图象可知f′(x)0的解为-1x2或x5，所以f(x)的单调递增区间为(-1，2)，(5，+∞).答案:(-1，2)，(5，+∞)类型一函数单调区间的判断及求解【典例1】(1)设f(x)=x-sinx，则f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数(2)求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.【解题指南】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sinx的奇偶性，利用导数判断其单调性.(2)先求导，令导函数值大于0，得到增区间，令导函数值小于0，得到减区间.【解析】(1)选B.因为f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.又f′(x)=1-cosx≥0，所以f(x)单调递增，选B.(2)f(x)=3x2-2lnx的定义域为(0，+∞)，则f′(x)=由f′(x)0得6x2-20，即x2则x或x-(舍).所以递增区间为226x26xxx，13，33333()3，，由f′(x)0得6x2-20，即，则x，因为x0，所以0x，所以递减区间为.21x3＜3333333(0)3，【方法总结】利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域.(2)求导函数f′(x).(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0.【跟踪训练】1.函数y=x3-x2-x的单调递增区间为()1A.()(1)31B.(1)31C.()(1)31D.(1)3，和，，，，，2.函数f(x)=x-2sinx在(0，π)上的单调递增区间为__________.3.求函数f(x)=x2+alnx(a∈R，a≠0)的单调区间.12【解析】1.选A.y′=3x2-2x-1，令y′0，得x-或x1，所以函数的单调递增区间为和(1，+∞).131()3，2.令f′(x)=1-2cosx0，则cosx又x∈(0，π)，解得xπ，所以函数的单调递增区间为答案:12，3().3，()3，3.函数定义域为(0，+∞)，f′(x)=x+①当a0时，f′(x)=x+0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，+∞);②当a0时，由f′(x)=x+0，得xa.xaxaxa;由f′(x)=x+0，得0x所以当a0时，函数的单调递增区间是(+∞)，单调递减区间是(0，).axa，a，a综上，当a0时，单调增区间为(0，+∞)，无单调减区间;当a0时，单调增区间为(，+∞)，单调减区间为(0，).aa【补偿训练】求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x3+(2)y=xex.3.x【解析】(1)f′(x)=由f′(x)0，解得x-1或x1;由f′(x)0，解得-1x1，且x≠0.所以函数的单调递增区间为(-∞，-1)，(1，+∞);单调递减区间为(-1，0)，(0，1).2222313x3(x).xx(2)y′=ex+xex=ex(1+x).令y′0，得x-1;令y′0，得x-1.因此，y=xex的单调递增区间为(-1，+∞)，单调递减区间为(-∞，-1).类型二原函数与导函数图象间的关系【典例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()(2)函数y=f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式f′(x)0的解集为________.3(3)2－，【解题指南】(1)利用导数的符号判断函数的单调性.(2)当函数单调递减时f′(x)0，所以只要找出函数的单调递减区间即可.【解析】(1)选D.因为y=-x4+x2+2，所以y′=-4x3+2x，令y′0，解得x-或0x，令y′0，解得x或-x0，所以函数y=-x4+x2+2在上单调递增，在上单调递减，所以选D.2222222222()(0)22，，，22()(0)22，，，(2)函数y=f(x)在区间和区间(2，3)上单调递减，所以在区间和区间(2，3)上，y=f′(x)0，所以f′(x)0的解集为∪(2，3).答案:∪(2，3)1(1)3－，1(1)3－，1(1)3－，1(1)3－，【方法总结】判断函数与导数图象间对应关系的两个关键第一:要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.第二:注意以下两个方面:(1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系:在某个区间(a，b)内，若f′(x)0，则y=f(x)在(a，b)上单调递增;如果f′(x)0，则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0，则y=f(x)是常数函数，不具有单调性.(2)导数与函数图象的关系:【跟踪训练】1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()2.若函数y=f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()【解析】1.选D.A，B，C均有可能;对于D，若C1为导函数，则y=f(x)应为增函数，不符合;若C2为导函数，则y=f(x)应为减函数，也不符合.2.选A.因为y=f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的.类型三利用函数的单调性求参数的范围【典例3】(1)若f(x)=ax3+x在区间[-1，1]上单调递增，求a的取值范围.(2)(2018·广州高二检测)设函数f(x)=x2+ax-lnx，a∈R，若f(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围.【解题指南】(1)由f(x)=ax3+x在区间[-1，1]上单调递增，可得出利用不等式f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立，确定a的取值范围.(2)把f(x)在区间(0，1]上是减函数，转化为f′(x)≤0对任意x∈(0，1]恒成立.【解析】(1)f′(x)=3ax2+1，因为f(x)在区间[-1，1]上单调递增，所以f′(x)=3ax2+1≥0在[-1，1]上恒成立.当x=0时，显然成立，当x≠0时，a≥因为在x∈[-1，0)∪(0，1]的最大值为所以a≥故a的取值范围是21.3x－13－，1.3－1)3[－，＋．213x－(2)f′(x)=2x+a-因为f(x)在区间(0，1]上是减函数，所以f′(x)≤0对任意x∈(0，1]恒成立，即2x+a-≤0对任意x∈(0，1]恒成立，所以a≤-2x对任意x∈(0，1]恒成立.1.x1x1x令g(x)=-2x，所以a≤g(x)min，易知g(x)在(0，1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=-1，所以a≤-1.1x【方法总结】利用函数的单调性求参数的取值范围应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.【跟踪训练】已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=ex-a.若a≤0，f′(x)=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增;若a0，ex-a0⇒exa⇒xlna.所以f(x)的单调递增区间为(lna，+∞).(2)因为f(x)在R内单调递增，所以f′(x)≥0在R上恒成立.所以ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.所以a≤(ex)min，又因为ex0，所以a≤0.【知识思维导图】