首届全国中学生数理化学科能力竞赛八年级数学学科能力解题技能初赛试题详解

首届全国中学生数理化学科能力竞赛八年级数学学科能力解题技能初赛试题详解济宁市任城区济东中学一、选择题（每题5分，合计30分）1、如果“学”、“科”、“能”、“力”这四个汉字中每个汉字分别代表一个非零个位数，对于运算符号“”有：学科能力1＝科学能力；学科能力2＝能力科学，那么123412＝（D）.A．4312B．3421C．4321D．3412解：123412=2134△2=34122、已知点P关于原点对称点1P的坐标是（2，3），则点P关于y的对称点2P的坐标是(C).A．(－3,－2)B．(2,－3)C．(－2,－3)D．(－2,3)3、方程组36xyxyz的非负整数解有（B）个.A．1B．2C．3D．无数解：二式相减得：y-yz=-3,y(z-1)=3因为y、z为非负整数，所以y=1,z-1=3,或y=3,z-1=1从而x=2,y=1,z=4;x=0,y=3,z=2.4、由6条长度均为2cm的线段可构成边长为2cm的n个等边三角形，则n的最大值为(C).A．4B．3C．2D．15、已知三角形的三条边长分别8x、x2、84，其中x是正整数，这样的互不全等的三角形共有（C）个.A．5B．6C．7D．8解下列三组不等组：（1）8x+x2﹥84，8x﹥84，x2﹥84；（2）x2+84﹥8x，84﹥8x，x2﹥8x；(3)8x+84﹥x2、8x﹥x2，84﹥x2得x=7,8,9,10,11,12,136、已知2008200813312211112222（D）A．1B．20072008C．20092008D．20082009解：一般地a2+a=a(a+1)aa21111aa所以：原式=（2111）+（3121）+…+（2009120081）=1-20091=20082009二、填空题（每题5分，合计30分）7、北京奥运期间，体育场馆要对观众进行安全检查.设某体育馆在安检开始时已有若干名观众在馆外等候安检，安检开始后，到达体育馆的观众人数按固定速度增加.又设各安检人员的安检效率相同.若用3名工作人员进行安检，需要25分钟才能将等候在馆外的观众检测完，使后来者能随到随检；若用6名工作人员进行安检，时间则缩短为10分钟.现要求不超过5分钟完成上述过程，则至少要安排11名工作人员进行安检.解：设体育馆在安检开始时已有m名观众在馆外等候安检，安检开始后，到达体育馆的观众人数按固定速度n人/分钟增加.各安检人员的安检效率为c人/分钟.（1）用3名工作人员进行安检，需要25分钟才能将等候在馆外的观众检测完，使后来者能随到随检；得：3×25c=m+25n(1)（2）若用6名工作人员进行安检，时间则缩短为10分钟.得：6×10c=m+10n(2)由（1）、（2）得：m=50c,n=c.现要求不超过5分钟完成上述过程，设至少要安排x名工作人员进行安检.则：5xc=m+5n=50c+5c=55c所以：x=118、已知,ab均为质数,且满足213aab,则2bab17.解：显然a≤3当a=2时，4+b2=13,b=3;当a=3时，9+b3=13,b3=4,不合题意。9、如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E为线段AD上一点，且满足2AEED，则△ABC与△BDE的面积之比为__6：1.解：△ABD的面积等于△ABC面积的一半；△BDE的面积等于△ABD面积的三分之一。10、已知2xy（其中,xy都是整数）能被9整除，则2(584)xy被9除的余数为1.解：2(584)xy=10x-16y-8=10x+20y-36y-9+1=10(x+2y)-9(4y+1)+111、某班学生共有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，游泳、体操都不会的有15人，那么既会游泳又会体操的有10人.解：游泳、体操至少会一项的为50-15=35（27+18）-35=1012、当x分别等于2008,2007,2006,,2,1,21,,20061,20071,20081时，计算代数式221xx的值，再把所得的结果全部加起来.则这个总和为____2007.5______.解：计算当x=a和x=a1代数式的和221aa+211a=1，所以将首尾两数分别代入后，和为1.三、解答题（每题20分，合计60分）13、求方程2008xyyx的正整数解.解：两边都加1得：120081xyyx（x+1）(y+1)=2009=7×7×41因为x、y为正整数，所以得：x+1=7,y+1=287;y+1=7,x+1=287;x+1=49,y+1=41;X+1=41,y+1=49.所以;x=6,y=286;x=286,y=6;x=48,9=40;x=40,y=48.14、如图，在△ABC中，点D是边AB延长线上的一点，点F是边AC上的一点，DF交BC于点E，并已知,BDCFDEEF,∠A=58°，求∠C的值.解：过点F做AD的平行线，交BC于G.可得：△FEG≌△DEB，从而FG=BD=FC.∠CFG=∠A=58°∠C=(180°-58°)÷2=61°15、已知05224224nnmmm，且m、n均为正整数,求m、n的值.解：原式化为：nnmmm2254224即)1(2)5)(1(222mmmn所以nm252nm252因为n为正整数，所以n2是偶数，n25为奇数，从而m为奇数设m=2k-1（k为正整数），得nk25)12(2化简，得：nkk244422221nkk221)1(nkk两个连续整数的积是偶数，所以221n是偶数，从而22n是奇数，所以只有n-2=0所以n=2.2225m=9,m=3