13、长波近似

第1页§3.5长波近似在第二章中,晶体被看作连续介质,从经典力学的角度推出了晶格振动的弹性波方程。在§3.1中,我们从晶体中每个原子在其平衡位置附近做微振动的观点（不再是连续介质）,推出晶格振动的声学波和光学波。本节讨论q→0、λ→∞，即长声学波和长光学波的情况，并和连续介质结果作比较。波长λa——原胞的线度晶格中的声学波相邻原子都沿同一方向振动光学波原胞中不同的原子相对地作振动第2页一、长声学波在§3.1中，以一维双原子链为例，当q很小时，即对于长波极限，得到声学波色散关系为长声学波的角频率与波矢存在线性关系，而长声学波的波速为apdrUdaMmqv2221)2(2)1(221qaMm长声学波的波速为一常数，这些特性与晶体中的弹性波完成一致。Β：恢复力常数，2a：晶格常数。§3.5长波近似第3页1、长声学波波动方程其解为)(3222212322222122222122nnnnnnnnuuudtudMuuudtudm)(422221212tanqintanqinBeuAeu将（4）式代入（3），可得对于长声学波，邻近的若干原子以相同的振幅、相同的位相集体运动，对于一维复式格子，运动方程由下式表示§3.5长波近似第4页即)7()(2,)(222qaiqaqaiqaeemABeeMBA可得两种不同原子的振幅比)()()(522122122222222niqaiqanniqaiqanueeABdtudmueeBAdtudM)6(2222BAeeBMABeeAmiqaiqaiqaiqa将A/B、B/A和ω先后代入（5）式得到§3.5长波近似第5页将A/B、B/A和ω先后代入（5）式得到)(8221222212222222222nnnnuaqMmdtuduaqMmdtud对于l为有限整数的情况，由试解（4）式，可得,)(aliqnlneuu1122l为奇数时；,)(aliqnlneBAuu1122l为偶数时；由色散关系，可知当q→0时，ω→0，由振幅比（7）式，可得：§3.5长波近似第6页因此当l为有限整数时，不论l为奇数或偶数，都有)9(1)(2200limlimqaiqaqqeeMBA)(lim1011220nlnquu上式说明：在长声学波条件下，一维原子链不同原子的运动方程实际可视为一个方程，它们的一般表达式：)(112222222lnlnuaqMmdtud邻近（在波长范围内）的若干原子以相同振幅、相同位相集体运动。欧拉公式§3.5长波近似第7页从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离坐标可视为连续坐标，所以有uAeutqriln)(2于是，原子的运动方程可写为)(12222222222222222ruvturuaMmuaqMmtutln上式为标准的宏观弹性波的波动方程，其中aMmvt212是用微观参数表示的弹性波的波速。§3.5长波近似第8页2、一维连续介质波动方程设有一维连续介质，x点的位移为u(x)，(x+dx)点的位移为u(x+dx)，因此连续介质因位移而引起的形变（应变）为：设介质的弹性模量为c，则在x点因形变而产生的恢复力dxxudxxu)()(dxxducdxxudxxucxF)()()()(同时，在(x-dx)点，因形变将有恢复力dxdxxducdxxF)()()(xu)(dxxuxdxx§3.5长波近似第9页考虑介质中x与(x-dx)间长度为dx的一段：设一维介质的线密度为ρ，则长度为dx的一段介质质量为ρdx；而作用在长度为dx的介质上有两个方向相反的恢复力F(x)及F(x-dx)，因此这段介质的运动方程为)()(),(22dxxFxFdttxuddxdxtdxxdudxtxducdttxuddx),(),(),(222222),(),(dxtxudcdttxuddx§3.5长波近似第10页上式是标准的波动方程，其解为把上式代入波运动方程，得弹性波的相速度tqxieutxu0),()14(22qc)15(cqvq这里的c相当于杨氏模量.)13(),(),(2222xtxucttxu改用偏微商的符号，则有§3.5长波近似第11页所以而第m+1个原子的位移而引起的对第m个原子产生的恢复力auudxdumm1adrUd22)16(,1auucFmm)(,171mmuuF其中dxducF把上式应用于一维复式格子，应变是恢复力：§3.5长波近似第12页将（18），（19）代入（15），得弹性波的相速度与一维复式格子的长声学波相速度相比较：弹性波和长声学波速度完全相等，即长声学波和弹性波完全一样。所以对于长声学波，晶格可以看作是连续介质。)(;20222121aMmaMmavq一维复式格子，质量线密度为)(,192aMm所以)(,18ac§3.5长波近似第13页离子晶体的光学波描述原胞中正负离子的相对运动。在波长较长时，半个波长的范围内包含很多原胞。在两个波节之间，同种离子的位移方向相同，异种离子位移相反，而波节两边同种离子位移方向相反。由于波长很大，使晶体呈现出宏观上的极化现象。二、长光学波模型：设每个原胞中只有两个电荷量相等、符号相反的离子。§3.5长波近似第14页注意：只有当电磁波与光学波的频率、波长相同时才会发生强烈的耦合作用。离子晶体中光学支的频率大约为1013s-1的数量级，而在此频段的电磁波处于红外波段，波长大约为10－6m数量级，因此要求光学支格波也要有同样的波长。此波长要比离子晶体的晶格常数大得多，是长光学波。原子间距离大约m1010ω=1013/s,λ=104nm§3.5长波近似第15页1、离子晶体的宏观极化方程由于正负离子相对运动，电荷不再均匀分布，出现了以波长为周期的正负电荷集中的区域。离子晶体的宏观极化产生一个宏观极化电场E，作用在某离子上的电场称为有效电场Eeff,有效电场等于宏观电场减去该离子本身产生的电场。§3.5长波近似正离子向左E第16页对横波，退极化场平行薄层面，由于薄层的厚度为λ/2，它与晶体的线度相比小得多，如图所示。因其退极化场E＝0。与纵光学波相比，横光学波的离子所受的恢复力，由于没有附加的静电场恢复力而较小。因此，可以断言横光学波的圓频率小于纵光学波的圆频率。离子晶体的极化由两部分贡献构成：§3.5长波近似正离子向左E第17页对立方晶系,洛伦兹提出了求解有效电场的一个方法：)1(310PEEeff其中P为宏观极化强度。离子晶体的极化由两部分贡献构成：§3.5长波近似正离子向左E第18页离子位移极化:是正负离子的相对位移产生的电偶极矩，这种极化称为离子位移极化，用e*u表示；u为正负离子的相对位移，e*为离子的有效电荷。电子位移极化:是离子本身的电子云在有效电场作用下发生畸变，即离子本身也成了电偶极子，这部分的极化为电子位移极化，)2(3131,0000*0*nEuenVNEueVNPorEuenEueVNPeffeff宏观极化强度P由下式表示：α－代表正负离子极化率之和。n0是单位体积中的原胞数。单位体积中的原胞数§3.5长波近似第19页建立离子晶体原胞中两离子的相对运动方程。设u+表示质量为M的正离子的位移；u-表示质量为m的负离子的位移。与一维双原子晶格类似，可分别写出正、负离子的运动力学方程。2、长光学波的宏观运动方程与一维双原子晶格所不同之处：由于退极化场的存在，离子还受到一个静电恢复力。因此有)4()3(**_effeffEeuuumEeuuuM§3.5长波近似第20页（3）式和（4）式分别乘以m/(M+m)和M/(M+m)，然后相减得effEeuuuumMMm*引入相对位移u=u+-u-和拆合质量Mm/(M+m)，则上式可写成)5(*effEeuu)4()3(**_effeffEeuuumEeuuuM§3.5长波近似第21页)5(*effEeuu为了表述方便，通常引入一个相对位移参量uVNuuW212121其中ρ为质量密度，Ω为原胞体积。)6()()(22211211bEbWbPaEbWbW)(**20effeffEuenEueVNP这样极化强度和运动方程（5）就分别化为§3.5长波近似第22页其中0000220021*21002112002*01133;3331nnbnenbbnenb这组方程称为黄昆方程，是黄昆1951年求得的。b系数称为动力系数。)6()()(22211211bEbWbPaEbWbW§3.5长波近似第23页)6()()(22211211bEbWbPaEbWbW（a）代表振动方程，第一项为准弹性恢复力，第二项表示电场附加了恢复力。（b）方程代表极化方程，第一项表示离子位移引起的极化，第二项表示电场附加了极化。从方程可以看出，格波与宏观极化电场相互耦合在一起。§3.5长波近似第24页世界著名物理学家、中国固体和半导体物理学奠基人之一、杰出教育家。浙江嘉兴人。西南联大毕业。1947年在英国布里斯托大学获得博士学位。博士学位后曾在英国爱丁堡大学物理系、利物浦大学理论物理系从事研究工作。大胆预言与晶格中杂质有关的X光漫散射，后称为黄散射。受邀与玻恩著《晶格动力学》，至今仍是该领域权威著作。提出“黄方程”和由此引伸的极化元的重要概念，对理论物理发展作出重要贡献。1956年北大任教主持中国半导体物理专业的创建工作，著《固体物理学》为中国信息产业培养第一批人才。1977年任科学院半导体所所长为中国半导体科学技术的复苏发挥重要作用。2001年获国家最高科学技术奖。黄昆1919--2005第25页3、LST关系（长光学横波频率与纵波频率的关系）)()()()(7000trqitrqitrqieEEePPeWW在分析有带电粒子的晶体振动时，必须考虑它们之间的电磁相互作用。则可以把格波的纵向位移和横向位移分开，即位移W与波矢q相垂直的部分构成横波WT，位移W与波矢q平行的部分构成纵波WL：)8(,,TLTLTLEEEPPP黄昆方程具有平面波形式的解§3.5长波近似第26页横波WT是等容波，它不引起晶体体积的压缩或膨胀，其散度为零；纵波WL是无旋波，其旋度为零；晶体内无自由电荷，电位移矢量D无散。假设晶体中的电场只是由库仑作用的，横光频模不产生退极化场(忽略横向极化伴随的有旋场)。因此有以下关系：)9()(0)(0)(0,0)(0,0dEcDbWWaWWLLTT)6()()(22211211bEbWbPaEbWbW将静电方程与黄昆方程联合求解：§3