七年级上册数形结合思想的应用

运用数学思想方法解题――数形结合思想一、数形结合思想(一)、利用数轴（规定了原点、单位长度、正方向的直线）这一图形来解有关“有理数”的题目。(1)绝对值：从图形上可明显看出：2，就是线段ＯＡ的长度２，即223就是线段ＯＢ的长度，即33例题：1、数轴上与O的距离等于2个单位的点表示的数是（）A.0和2B.－1和2C.－1和3D.－2和22、绝对值等于8的数是（）A.8B.-8C.8或-8D.不能确定方法：通过在草稿纸上画出简单的数轴图形，就知道应有两个数。(2)相反数：如上图，两个数互为相反数，在数轴上表现为与原点距离相等（其中只有0的相反数是它本身）。在数本身的特点上，体现为只有符号不同。1、-5的相反数是，2的相反数是2、一个数在数轴上表示的点距原点2.8个单位长度，且在原点的左边，则这个数的相反数是_____，绝对值是_____．方法：简单画出数轴。(3)有理数的分类及大小比较：如上图，在数轴上可以看出：①原点0右边的都是正数，0左边的都是负数，而0是分界点。这样数可分为：正数，0，负数三类。数轴上右边的数大于左边的数。②在数轴上一般标记出来的是整数，而分数（小数）一般没标记出来。有理数第二分类方法：整数、分数。大小比较：还是数轴上右边的数大于左边的数。比较　32　43，－_____－，|－2．5|_____－的大小方法：画出数轴，观察数轴上负数在原点左边分布特点。(4)有理数加减法运算：1、线段的加减作图法：如图：①作一条线段，使它与AB+CDOBA-3-2-13201213221ABCD相等。方法：如图，在直线上顺次连续作出线段AB、CD，线段AD=AB+CD②作一条线段，使它与AB-CD相等。方法：如上图，在直线上作出线段AB，在AB的内部作出AD=CD，则DB=AB-CD。2、有理数的加减：根据数形结合的思想，实质就是在数轴上进行的线段的加减。试着利用以上数轴图，解释有理数加法（加上一个正数，从该数右边继续画一条线段，若加上一个负数，从这个数左边画一条线段，得到结果）试解释：2+3=_____－2+3=____4+(－6)=____－2+(－3)=____并因此归纳出加法法则：______________________________________________________________________________________________练习：1、用“＜”、“＞”或“＝”连接：（1）－2＋6；（2）0－1.8；（3）23_____452、如图所示，点M表示的数是（）A.2.5B.15.C.25.D.1.53、在一条东西向的跑道上，小亮先向东走了8米，记作“＋8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作（）。A、＋2米B、－2米C、＋18米D、－18米(二)、利用数形结合思想来解行程问题的应用题1、一般性行程问题例：一只船从甲码头到乙码头是顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回到甲码头是逆流行驶，用了2.5小时。如果水流的速度是3千米/小时，求船在静水中的速度？分析：一般根据题意可得到如下图形，相等关系易发现：去的路程=回的路程AB(C)DAB(C)D-2-14102-635-3-4-5练习：一架飞机在两城之间飞行，风速为24小时/时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程？2、相遇问题例题：甲、乙骑自行车同时从相距60千米的两地相向而行，5小时相遇．甲比乙每小时多骑2千米，求甲、乙的速度各是多少？分析：相遇问题根据题意一般都可画出如下图。在图形上标出两的速度，时间，路程等量，相等关系一般由图形可得到甲的路程AB+乙的路程CB=AC两地之间路程60千米。由题中条件知：甲的时间为5小时，甲的速度要求设为x，甲的路程用时间和速度来表示为5x，同样，可知：乙的时间为5小时，速度为x－2（由题中“甲比乙每小时多骑2千米”得到），乙的路程为：5(x－2)。根据前面分析的相等关系得到：5x+5(x－2)=60。练习：A、B两地相距36千米.甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，几小时后两人相遇？3、追及问题：例：龟兔进行赛跑，兔子的速度为每秒3.5米，乌龟的速度为每秒0.5米。现乙的v=t=s=甲的v=t=s=ACBt=2.5s=2.5(x－3)实际速度=静水中速度－水流速度，v=x－3逆水航时：t=2s=2(x+3)实际速度=静水中速度+水流速度，v=x+3顺水航时：甲码头乙码头在乌龟领先兔子30米，问：多久后兔子可以赶上乌龟？分析：追及问题一般可画出如下图形，来寻找相等关系：兔子的路程AC=乌龟的路程BC+乌龟领先路程AB练习：甲、乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早出发2小时，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，两人同时到达县城。求从村庄到县城的路程。(三)、利用数形结合思想来解工程问题的应用题工程问题实质上可看成行程问题。工程问题的工作效率可理解为行程问题中的速度，工作量可理解为路程。它们的关系式：工作量=工作效率X工作时间，路程=速度X时间。速度实质上是工作效率中的其中一种形式：速度就是单位时间内走的路程。工作效率也是单位时间内做的工作量。1、最简单工程问题（类似于一般性行程问题）例：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。若由甲、乙合做，需要几小时完成?分析：根据题意可得如下关系图：由上图可知：甲的工作量+乙的工作量=工作总量练习：1、12天，由乙工程队单独铺设需18天，如果由这两个工程队从两端同时相向施工，要多少天可以铺好?2、45分可注满全池；单独开放乙管，60分可注满全池；单独开放丙管，90分可注满全池，现将三管一齐开放，多少分可注满全池?兔子的v=t=s=乌龟的v=t=s=ACB工作总量=1乙的工作时间=乙的工作效率=乙的工作量=甲的工作时间=甲的工作效率=甲的工作量=2、类似于追及问题的工程问题例：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，需要几小时完成?分析：根据题意可得到如下图形：由图显然可知：甲单独做时工作量+甲乙合做时甲的工作量+乙的工作量=1练习：一件工作由一个人做要50小时完成，现在计划由一部分人先做5小时，再增加8人和他们一起做10小时，完成了这项工作，问：先安排多少人工作？3、工作总量为具体数目时，不能再用1代替工作总量。例：要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工4小时，2个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件?分析：甲的工作效率即是要求的每小时加工多少个零件，乙的工作效率也是要求的每小时加工多少个零件。两者关系是：“甲每小时比乙多加工2个零件”。可设乙每小时加工x个，如下图：练习：食堂有煤若干吨,原来每天烧煤3吨,用去15吨后,改进设备,耗煤量改为原来的一半,结果多烧了10天,求原存煤量.甲单独先做时甲的：甲乙合做时乙的：甲乙合做时甲的：工作时间=工作效率=工作量=工作时间=工作效率=工作量=工作总量=1工作时间=工作效率=工作量=总的工作量200个零件甲乙合作时乙的：工作效率=x+2工作时间=4工作量=4x工作效率=x+2工作时间=4工作量=4(x+2)甲乙合作时甲的：甲单独做时：工作效率=x+2工作时间=5工作量=5(x+2)(四)、利用数形结合思想来解“图形”类的问题图形类的问题必须借助图形来解，这是不用置疑的，然而，很多题目没给出图形，因此，增加了难度，往往有多种情况的可能，需要画出几种可能的图形来进行分析。1、平面上有三个点，过两点画直线，一共可以画直线（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条分析：题中并上没给出图形，只说有三点，这三点位置关系存在着如下图所示两种情况：2、三条直线两两相交，则交点有____________个分析：同样，题中没画图，需要自己画图分析，有以下两种情况：两种情况都符合题意：三条直线两两相交。练习：平面内有不同四个点，过两点连一直线，有__________________条直线；3、①在直线a上顺次取．．．A．、．B．、．C．三点．．，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OC的长度是____________;②直线a上有．A．、．B．、．C．三点．．，AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OC的长度是______________分析：这两题有什么不同？①在直线a上顺次取．．．A．、．B．、．C．三点．．，则只有一种情况，如下图：②直线a上有．A．、．B．、．C．三点．．，则有两种情况，第一种情况如上图，同第①题，第二种情况如下图：练习：1、已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，则线段AC=_________2、从点O引出谢线OA、OB、OC，得到∠AOB=800，∠BOC=300，则∠AOC=________三点在一条直线上三点不在同一条直线上三条直线相交于一点三条直线不相交于一点OABCOABC