32 时间序列的协整和误差修正模型

§3.2协整与误差修正模型一、长期均衡与协整分析二、协整检验—EG检验三、协整检验—JJ检验四、误差修正模型一、长期均衡与协整分析EquilibriumandCointegration1、问题的提出•经典回归模型（classicalregressionmodel）是建立在平稳数据变量基础上的，对于非平稳变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。•由于许多经济变量是非平稳的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。•但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。•例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子,从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。•经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述2、长期均衡tttXY10该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。•在t-1期末，存在下述三种情形之一：–Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt；–Y小于它的均衡值：Yt-10+1Xt；–Y大于它的均衡值：Yt-10+1Xt；•在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，即上述第一种情况，则Y的相应变化量为:tttvXY1vt=t-t-1•如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则t期末Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化大一些；•反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，则t期末Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt。•可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。•一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳序列。如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。•式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibriumerror），它是变量X与Y的一个线性组合：tttXY10•如果X与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。•非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。称变量X与Y是协整的（cointegrated）。3、协整•如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量=(1,2,…,k)，使得Zt=XT~I(d-b)，其中，b0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，为协整向量（cointegratedvector）。•如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。•3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。)2(~),2(~),1(~IUIVIWttt)0(~)1(~IePcWQIbUaVPtttttt)1,1(~,)1,2(~,CIPWCIUVtttt•（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。•例如，中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，如果它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型是合理的。tttGDPPCCPC10•尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典的回归分析方法建立回归模型。•从这里，我们已经初步认识到：检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。二、协整检验—EG检验1、两变量的Engle-Granger检验•为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步，用OLS方法估计方程Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到：tttttYYeXYˆˆˆˆˆ10称为协整回归(cointegrating)或静态回归(staticregression)。第二步，检验et的单整性。如果et为稳定序列，则认为变量YXtt,为(1,1)阶协整；如果et为1阶单整，则认为变量YXtt,为(2,1)阶协整；…。•非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。•需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。•而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。•于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的DF与ADF临界值还要小。•MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值。表9.3.1双变量协整ADF检验临界值显著性水平样本容量0.010.050.1025-4.37-3.59-3.2250-4.12-3.46-3.13100-4.01-3.39-3.09∝-3.90-3.33-3.05•例9.3.1检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生产总值GDPPC的协整关系。已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，已知它们的回归式ttGDPPCCPC45831.0764106.49R2=0.9981对该式计算的残差序列作ADF检验，适当检验模型为：311ˆ27.2ˆ49.1ˆ55.1ˆtttteeee（-4.47）(3.93)(3.05)LM(1)=0.00LM(2)=0.00t=-4.47-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项是平稳的。因此中国居民人均消费水平与人均GDP是(2,2)阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡”关系。2、多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：tttttYXWZ3210非均衡误差项t应是I(0)序列：tttttYXWZ3210然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：tttvWZ110tttvYX210则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它们的任意线性组合也是稳定的。例如tttttttYXWZvvv110021由于vt象t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此vt式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1,-0,-1,-2,-3）是对应于t式的协整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于vt式的协整向量。一定是I(0)序列。•检验程序：•对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线性组合。•在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检验残差序列是否平稳。•如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估计及相应的残差项检验。•当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（d,d）阶协整。•检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值要比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受到所检验的变量个数的影响。表9.3.2多变量协整检验ADF临界值变量数=3变量数=4变量数=6样本显著性水平显著性水平显著性水平容量0.010.050.10.010.050.10.010.050.125-4.92-4.1-3.71-5.43-4.56-4.15-6.36-5.41-4.9650-4.59-3.92-3.58-5.02-4.32-3.98-5.78-5.05-4.69100-4.44-3.83-3.51-4.83-4.21-3.89-5.51-4.88-4.56∝-4.30-3.74-3.45-4.65-4.1-3.81-5.24-4.7-4.42MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。三、协整检验—JJ检验(教材6.4.3)⒈JJ检验的原理•Johansen于1988年，以及与Juselius一起于1990年提出了一种用向量自回归模型进行检验的方法，通常称为Johansen检验，或JJ检验，是一种进行多重I(1)序列协整检验的较好方法。•没有移动平均项的向量自回归模型表示为：tptpttyyy11tjtjpjtyy1ttjtpjjt11yyy差分Yt为M个I(1)过程构成的向量I(0)过程I(0)过程只有产生协整，才能保证新生误差是平稳过程•将y的协整问题转变为讨论矩阵Π的性质问题如果MR)(，显然只有11211,,,tMttyyy都是)0(I变量，才能保证新生误差是平稳过程。而这与已知的ty为)1(I过程相矛盾。所以必然存在MR)(。如果0)(R，意味着0，因此仅仅是个差分方程，各项都是)0(I变量，不需要讨论11211,,,tMttyyy之间是否具有协整关系。如果)0()(MrrR，表示存在r个协整组合，其余rM个关系仍为)1(I关系。在这种情况下，可以分解成两个)(rM阶矩阵和的乘积：，其中rR)(，rR)(。ttjtpjjt11yyy该式要求1ty为一个)0(I向量，其每一行所表示的11211,,,tMttyyy的线性组合都是一种协整形式。于是，将yt中的协整检验变成对矩阵Π的分析问题。这就是JJ检验的基本原理。所以矩阵决定了11211,,,tMttyyy之间协整向量的个数与形式。所以称为协整向量矩阵，r为系统中协整向量的个数。矩阵的每一行j是出现在第j个方程中的r个协整组合的一组权重，故称为调整参数矩阵。⒉JJ检验的预备工作•第一步：用OLS分别估计下式中的每一个方程，计算残差，得到残差矩阵S0，为一个(M×T)阶矩阵。tjtpjjtyy1MTMMTT212222111211•第一步：用OLS分别估计下式中的每一个方程，计算残差，得到残差矩阵S1，也为一个(M×T)阶矩阵。tjtpjjtyy11•第三步：构造上述残差矩阵的积矩阵：00100SSRT10101SSRT01110SSRT11111SSRT•第四步：计算有序特征值和特征向量。计算0110010RRR关于11R的有序特征值和特征向量。特征值即为特征方程0011001011RRRR的解。011Mr，构成对角矩阵；对应的特征向量构成的矩阵为B，则有BRRRBR011001011其中B由下式正规化：IBRB11•第五步：设定似然函数。当无约束时，第四步中的M个特征值都保留，其对数似然函数依赖于：MiiT1)1ln(21但当)0()(MrrR时，对数似然函数是r个最大的特征值的函数：riiT1)1ln(21