七年级数学一元一次方程(教师讲义带答案)

1第三章一元一次方程(韩老师)本章知识网络结构图3.1一元一次方程的概念和性质【本讲主要内容】1.等式与方程表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。可见方程必须具备两个条件：一是必须含有未知数，二是必须是一个等式。2.等式的性质等式的性质1：等式两边加（减）同一个数（式子）。结果仍相等。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字。要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形。3.一元一次方程的概念我们把含有一个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的最简形式是bax（a0）。方程中的未知数叫做“元”，一个方程中有几个未知数，就称这个方程为几元方程。方程中含未知数的项的最高次数叫做方程的次数，这一点和多项式的次数有类似的地方。例如27x3是一元一次方程，4y4y2y2是一元二次方程，0yx3是二元一次方程，6y4x32是二元二次方程。4.方程的解与解方程方程是一个有待研究的等式，即研究这个等式中的未知数取什么值时等式才成立。解方程就是确定使方程中等号左右两边相等的未知数的值，我们把这样的未知数的值叫做方程的2解。这样的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可能有一个解、多个解，也可能无解。如方程3x-5=4x+3只有一个解x=-8。方程2x-7=5x-（3x+7）有无数个解，而方程2x-3=2x+2无解。求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。利用等式的性质，对方程进行一系列的变形，就可以求出方程的解。5.思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）⑴建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想.⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想.⑶化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想.⑷数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.⑸分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.【典型例题】例1.已知方程2xm－3+3x=5是一元一次方程，则m=.解析：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3所以m=4或m=3警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）.例2.已知2x是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值.解析：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解∴将x=－2代入方程，得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0化简，得4a+4a－6+5=0∴a=81点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以例3.已知a、b为定值，无论k为何值，关于x的一元一次方程26bkx3akx3的解总是1，试求a、b的值。分析：因为无论k为何值，所给方程的解总是1，所以当0k，1x时，26bkx3akx3依然成立。这样就把求a的值转化为求方程2613a的解，然后令1x，1k，再把a的值代入26bkx3akx3，得到关于b的一元一次方程，就可求出b的值。解：因为所给方程的解总是1，所以有26bk13ak3。（*）当0k时，2613a，解得213a。将213a，1k代入（*）式，得326b132133。解得6b。所以213a，6b。评注：将所给条件进行多次转化，把复杂的问题转化为简单的一元一次方程问题，然后利用相关知识解决，这是转化思想的魅力所在。例4.（2011台北13）若a：b：c＝2：3：7，且a－b＋3＝c－2b，则c值为何？(A)7(B)63(C)221(D)421【分析】：∵a：b：c＝2：3：7，∴设xcxbxa7,3,2，∵a－b＋3＝c－2b∴xxxx327332∴23x221c。【答案】：C例5.(2011江苏镇江，17，2分)把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体(且没有剩余)，其中棱长为1的正方体的个数为__▲__．【解题思路】原正方体共可分割成64个棱长为1的正方体．若分割后有1个棱长为3的正方体，则正方体的个数为1＋(64－27)＝38≠29，不符合题意．所以，29个正方体中只有棱长为1和2的两种正方体．设棱长为1的正方体有x个，由于8个棱长为1的正方体可拼成一个棱长为2的正方体，所以可列方程x＋648x＝29．解得x＝24．【答案】24例6.参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司制度的报销细则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医疗费是（）住院医疗费（元）报销率（%）不超过500的部分0超过500～1000的部分60超过1000～3000的部分80………A.2600元B.2200元C.2575元D.2525元解析：设此人的实际医疗费为x元，根据题意列方程，得500×0+500×60%+（x－500－500）×80%=1260.解之，得x=2200，即此人的实际医疗费是2200元.故选B.点拨：解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的.因为500×60%＜1260＜2000×80%，所以可知判断此人的医疗费用应按第一档至第三档累加计算.例7.足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：⑴前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？⑵这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？⑶通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？解析：⑴设这个球队胜了x场，则平了（8－1－x）场，根据题意，得43x+（8－1－x）=17.解得x=5.所以，前8场比赛中，这个球队共胜了5场.⑵打满14场比赛最高能得17+（14－8）×3=35分.⑶由题意知，以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可.∴胜不少于4场，一定能达到预期目标.而胜了3场，平3场，正好达到预期目标.所以在以后的比赛中，这个球队至少要胜3场.例8.关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的解，则m的值是()A．10B．－8C．－10D．8解析：解方程2x－4=3m，得x=342m．解方程x＋2＝m，得x＝m－2．由两方程解相同，得342m＝m－2，解得m＝－8．答案：B例9.已知y＝3是6＋14(m－y)＝2y的解，那么关于x的方程2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)的解是多少?分析：把y＝3代入第一个方程，使这个方程转化为关于m的方程，解出m的值，再代入第二个方程，求出x的值．解：y＝3代入方程6＋14(m－y)＝2y，得6＋14(m－3)＝6．解得m＝3．将m＝3代入2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)，得2×3(x－1)＝(3＋1)(3x－4)．解得x＝53.例10.扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积.分析：从展开图上的数据可以看出，展开图中两高与两宽和为14cm，所以一个宽与一个高的和为7cm，如果设这种药品包装盒的宽为xcm，则高为（7－x）cm，因为长比宽多4cm，所以长为（x+4）cm，根据展开图可知一个长与两个高的和为13cm，由此可列出方程.解：设这种药品包装盒的宽为xcm，则高为（7－x）cm，长为（x+4）cm.根据题意，得（x+4）+2（7－x）=13，解得x=5，所以7－x=2，x+4=9.故长为9cm，宽为5cm，高为2cm.所以这种药品包装盒的体积为：9×5×2=90（cm3）.例11.（2012无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．5（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=×100%）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？考点：一元一次方程的应用；列代数式。分析：（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；（2）利用（1）的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解．解答：解：（1）设商铺标价为x万元，则按方案一购买，则可获投资收益（120%﹣1）•x+x•10%×5=0.7x投资收益率为×100%=70%按方案二购买，则可获投资收益（120%﹣0.85）•x+x•10%×（1﹣10%）×3=0.62x投资收益率为×100%≈72.9%∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．（2）由题意得0.7x﹣0.62x=5解得x=62.5万元∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．【模拟试题】一、选择题：1.在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1;③1-12x=x+1④x+2y=3中方程有()个.()A.1B.2C.3D.42.若方程3ax-4=5(a已知,x未知)是一元一次方程,则a等于()A.任意有理数B.0C.1D.0或13.x=2是下列方程()的解.A.2x=6B.(x-3)(x+2)=0C.x2=3D.3x-6=04.x、y是两个有理数,“x与y的和的13等于4”用式子表示为()A.143xyB.143xyC.1()43xyD.以上都不对二、填空：5.列式表示:(1)比x小8的数：__________;(2)a减去b的13的差;(3)a与b的平方和:_______________;(4)个位上的数字是a、十位上的数字是b的两位数:_____________.6.下列式子各表示什么意义?(1)(x+y)2:______________________________________________________;(2)5x=12y-15:___________________________________________________;6(3)12()2423xx:______________________________________________________.7.甲乙两运输队,甲队32人,乙队28人,若从乙队调走x人到甲队,那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍,列出方程(32+x)=2(28-x)所依据的相等关系是_______________________________________________.(填写题目中的原话)8.一根铁丝用去45后还剩下3米,设未知数x后列出的方程是x-45x=3,其中x是指__________________________________________.9.甲乙两人从相距40千米的两地同时出发,向相而行,三小时后相遇.已知甲每小时比乙多走3千米,求乙的速度,若设乙的速度为x千米/时,列出方程为3x+3(x+