高中数学数形结合

数形结合思想及其应用（第一讲）江西省南康中学高一数学组幸志春•凡有科学之处，便有数学。数与形乃逻辑与形象，相辅相成。有数就有形，有形就有数•“以数辅形”用严密的逻辑推理来精确刻画直观的形象“以形助数”用形象的几何图像来启迪抽象的代数思维•著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”•数形结合：把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合起来，实现形象思维和抽象思维的优势互补，体现了数与形之间的沟通与转换，兼具数的严谨性与形的直观性•函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想并称为高中数学四大数学思想，是非常重要的思维方式，也是高中数学的主要培养目标17（2）解不等式：11.在中，角A，角B均为锐角，且则的形状是（）ABCcossinABABC16.已知关于X的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为：(,)xa227xxa钝角三角形32•集合及其运算问题（数轴与韦恩图）•利用函数图像解决有关问题（方程、不等式、恒成立、范围问题等）•三角函数图像的应用•应用平面图形、立体图形解决•应用向量解决有关问题•解析几何中的数形结合问题1）设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0,1］上的图象为如右图所示的线段AB，则在区间［1,2］上，f(x)=.［解析］题目已给出f(x)在区间［0,1］的图象，可运用数形结合与对称的思想方法.由y=f(x)是偶函数，由“形”对称变换到“形”，得函数y=f(x)在区间［－1,0］上的图象，如下图的线段CA.由y=f(x)是最小正周期为2的函数，再由“形”向右平移到“形”，得到函数y=f(x)在区间［1，2］上的图象，如右图所示的线段BD.yx2)若不等式≥x(a0)的解集为{x|m≤x≤n}，且|m－n|=a2，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4axaxaa［解析]画出y=,y=x的图象，依题意，m=－a，n=a，从而=aa=0或2.故选B.［点评］本题很好地体现了数形结合的优越性，如果单纯地从数的观点来解题的话，得出m=－a与n=a也是有一定的难度的，但从形的角度出发，可以很直观地看出，这也就说明了解小题时，一定要重视这种思想的应用.(A)0(B)1(C)2(D)3xyOy=2-xy=-x2+2C4)方程2-x+x2=的实数解的个数为（）2解析：求原方程的解的个数等价于求两线交点的个数。y=2-xy=-x2+2个个个个的实根个数为的方程关于D.1C.2B.34.)(log,10Axaxaax()()()()fxgxyfxygx方程的实根就是函数与图象交点的横坐标，根的个数是图象交点的个数xyayaxlog与作11xyO由图可知，两个函数的图象有两个交点所以，原方程有两个实数解C及个数求两图象交点的横坐标图象转化为可通过作解及个数，求方程)(),()()(xgxfxgxfxayxyalog若x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（1，2］D.［1，2］C［解析］令y1=(x－1)2，y2=logax，若a＞1，两函数图象如下图所示，显然当x∈(1，2)时，要使y1＜y2，只需使loga2≥(2－1)2，即a≤2，综上可知1＜a≤2若0＜a＜1，两函数图象如图所示，显然当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒不成立.［解析］设y1=|x2－1|，y2=ax(a＞0).分别作出两个函数的图象212|1|,.yxyax由令y1=y2，求出交点横坐标：2142aax2242aax8.解关于x的不等式：|x2－1|＜ax(a＞0).从图形不难看出当函数y2的图象位于y1的图象的上方时，对应的x值的取值范围即为原不等式的解.224422aaaax5)函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A.(1，+∞)B.(－1，1)C.(－∞，－1]∪[1，+∞)D.(－∞，－1)∪(1，+∞)［解析］画出y=a|x|与y=x+a的图象情形1：10a＞a＞a＞1情形2：10a＜a＜a＜－13)若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。原方程变形为即：30332xxxmx30212xxm()①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;②当1≤1－m4时，有唯一解，即－3m≤0,∴m＝1或－3m≤0设曲线y＝(x－2)2,x∈(0,3)和直线y＝1－m，如图已知方程sin2x+2sinxcosx+3cos2x+a=0有三个实数根，求a的取值范围.解原方程可化为2+sin2x+cos2x+a=0,即则原方程有三个实根等价于y=f(x)与y=-a-2有三个交点.由图象可得-1-a-2≤1,即-3≤a-1.∴a的取值范围为［-3，-1）.,230x.2)42sin(2ax),230)(42sin(2)(xxxf令用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)表示的最大值为（）A4B5C6D7108642244224681012C,,max{,},aababRabbab(2006浙江，10)对，记()max{1,2}()fxxxxR函数的最小值是（）13A.0B.C.D.322C某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图和左视图中这条棱的投影长分别为和的线段,则在该几何体的俯视图中,这条棱的投影长为（）的线段756某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中这条棱的投影长为的线段,若在该几何体的侧视图和俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值是（）76数形结合的两个方面：即以形助数、以数解形.（1）以形助数的体现：利用曲线方程解题：利用“直线的斜率”利用“单位圆”利用“点到直线的距离”利用“两点间的距离”利用“直线的截距”利用“平行线间的距离”利用“直线的方程”利用函数的图象利用几何图形解题利用向量运算利用“三角形三边的关系”利用勾股定理构图规律总结（2）以数解形的体现：向量坐标运算立体几何中空间向量坐标运算平面解析几何应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）直线的方程及曲线的方程（二元方程）规律总结以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助直线的有关概念；借助于三角形.总之，无论是解析几何、立体几何、函数问题，无法入手时尽量与“形”联系规律总结