金融衍生产品的定价综述

金融衍生产品定价模型综述蒲实（重庆大学数学与统计学院2008级统计2班）一．摘要衍生证券已经有很长的历史。期权和期货是所有衍生证券里在交易所交易最活跃的衍生证券。十七世纪晚期，在荷兰的Amsterdam股票交易所，就已经有了期权这种形式的证券交易。1973年建立的ChicagoBoardOptionsExchange(CBOE)大大带动了期权的交易。19世纪出现有组织的期货市场。期权定价理论是最成熟也是最重要的衍生证券定价理论。最早的期权定价理论可以追溯到1900年Bachelier(1900)的博士论文，Bachelier的主要贡献在于：发展了连续时间游走过程。受LouisBachelier工作的启发，KiyoshiItô在二十世纪四、五十年代作出了随机分析方面奠基性的工作，这套理论随即成为金融学最本质的数学工具，也带来了衍生证券定价理论革命性的飞跃。但是，风险中性定价的概念直到Black-Scholes（1973）和Merton（1973）才得以突破。他们的工作使随机分析和经济学达到了最优美的结合，也给金融实际操作带来了最具有影响力的冲击。由于许多权益都可以被视为偶发性权益（例如债务，股权，保险等），所以在他们以后，期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策等。我们可以把这些研究大致分为：复杂衍生证券的定价（例如MBS，奇异期权等）；数值计算（例如美式期权定价，亚式期权）；拓展模型来解释Black-Scholes模型不能解释的现象（例如Volatilitysmile）；交易约束和交易成本对衍生证券套期保值和定价的影响。二．关键词金融衍生产品，维纳过程(wienerProcesses)，Ito(伊藤)引理，随机过程，布朗运功，套期保值，鞅过程。三．正文1．二项树模型该模型由Sharpe（1978）提出，Cox,RossandRubinstein（1979）对它进行了拓展，将二项分布用于描述股价运动，从此二叉树模型被广泛运用于衍生品的定价，成为构造离散时间价格运动的基本模型。定义如下：0S=标的资产现在的价格；q=标的资产上涨的概率；rf=无风险利率；u=标的资产上涨的幅度；d=标的资产下跌的幅度；f=衍生证券现在的价格；uc=当标的资产价格为uS时衍生物的价格；dc=当标的资产价格为dS时衍生物的价格对rf的限制为urdf1我们构造无风险套期保值证券组合：以价格S0买一份股票，买m份以股票为标的物的衍生证券（m称为套期保值比率）。如果这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等，则这个证券组合是无风险的。得到：uSmcdSmcud00解得衍生证券的份数：mSudccud0()因为套期保值证券组合是无风险的，它的终端支付应该等于它的现价乘以1rf即：()()100rSmcuSmcfu从这个式子得出衍生证券的价格：cSrumcmrfuf011把套期保值比率m代入得：ccrdudcurudrufdff()()()111设prdudf()1则11purudf()从而，我们得到：cpcpcrudf()11这里定义的p总是大于0而小于1，具有概率的性质，我们称之为套期保值概率。从p的定义可以看出，无套利条件urdf1成立当且仅当p大于0而小于1（即，p是概率），所以，在金融学里，我们又把p称为等价鞅测度。这儿所说的正是金融学的一个重要定理：无套利等价于存在等价鞅测度。我们也可从另外一个角度来解释p的意义：p是当市场达到均衡时，风险中性者所认为的q值，即，股票价格上涨的概率。作为风险中性者，投资者仅仅需要投资在风险股票上的回报率为无风险利率，因此，我们有：()()11000rSquSqdSf从中解出q值，得到：qrdudf()1所以，对一个风险中性者来说，p=q，而衍生证券的价格可以解释为，在一个风险中性环境中，衍生证券的期望终端支付的折现值。在求得衍生证券价格的过程中，有两点是至关重要的，一是套期保值证券组合的存在性；二是无风险的套期保值证券组合的的回报率为无风险利率。无套利定价原理很容易推广到多期二项树股票价格过程。Cox,RossandRubinstein（1979）证明，当二项树模型中每期的时间趋于0时，股票价格依分布收敛于对数状态扩散过程，而期权价格公式收敛于Black-Scholes-Merton定价公式。2．Black-Scholes-Merton模型BlackandScholes(1973)和Merton(1973)利用随机分析这种强有力的方法，第一次对期权定价问题提出了严格的解。标的股票的价格)(tS服从如下的随机微分方程)()()(tdwdttStdSxS)0(,为常数，称为漂移项，可以视为股票的瞬时期望回报率，为常数，称为扩散项，可以视为股票的瞬时标准差，0ttw为标准布朗运动，x为常数。无风险债券的价格)(tB服从如下的方程dttrBtdB)()(（)0(B、r为常数）对于给定的欧式看涨期权，由于它的到期日支付是标的股票的函数，我们假设期权的价格为标的股票价格的函数ttSCct),(这里，我们并不知道函数C的具体形式，只知道它在00,,T是两次连续可微的。对函数C利用Itô引理，我们得到)()(),()(tdwtSttSCdttdcxYt,tT这里，2221)(),(),()(),(tSttSCttSCtSttSCtxxtxY下面，我们利用套期保值的思想，希望通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。假设自融资交易策略ab,=Ttbatt0:,满足此要求，这里，at表示在时间t购买的股票份数，bt表示在时间t购买的债券的份数，则tttctBbtSa)()(,tT0,我们得到)()(tdBbtdSadcttt)()()()(tdwtSadtrtBbtSattt通过比较)(tdw与dt的系数，我们来确定满足要求的自融资交易策略。首先，我们比较)(tdw的系数，得到ttSCaxt),(。我们得到ttSCtBbtSttSCtx),()()(),(从而)(),(),()(1tSttSCttSCtBbxt其次，我们比较dt的系数，得到，对于tT有ttSCtrSttSCttSrCxt),()(),(),(0),()(2221ttSCtSxx为了成立，只需C满足如下的偏微分方程rCxtCxtrxCxtxCxttxxx,,,,12220xtT,,,00，由欧式期权的到期日支付得边界条件CxTxK,，x0,利用Feynman-Kac公式，通过解带边界条件(1.2.8)的偏微分方程(1.2.7)，我们得到Black-Scholes期权定价公式cxNdKeNdrT012()()这里dxKrTTTf112lnddT21具体的解过程由Smith(1976)和Malliaris(1983)给出。Smith非常系统的给出了期权定价方法的应用，Malliaris说明了随机分析的本质作用。Duffie(1996)给出了Black-Scholes-Merton定价公式的数学基础以及金融解释，同时还给出了期权定价的金融学解释。上面给出的欧式期权的定价方法的基本假设是市场无套利机会，同时应满足如下假设：股票价格服从常波幅的扩散过程；市场连续交易；常无风险利率；市场无摩擦。在上述假设下，期权定价这样原始的问题被刻画成金融思想和数学推导的完美结合。3．衍生证券的一般定价方法直到1976年，利用复合的证券组合一直是期权定价的基础。CoxandRoss(1976)引入风险中性定价的概念，他们利用无风险利率代替股票价格过程的漂移项。在他们工作的基础上，HarrisonandKreps(1979)，HarrisonandPliska(1981)建立了系统的风险中性定价的理论框架以及与无套利的联系。无套利等价于存在等价概率测度，在等价概率测度下，期权和证券的价格以无风险利率折现后，是一个鞅过程。这是动态资产定价的基础。根据资产定价的基本定理，对随机过程0,ttS而言，存在等价鞅测度本质上等价于无套利机会。换一种说法，如果资产的折现价格0,ttS不存在套利机会，则资产定价定理说明原有的概率测度可以用一个新的概率测度代替，在新概率测度下，资产的折现价格过程是一个鞅过程。早期的风险中性定价工作是以货币市场帐户作为计量单位的。事实上，计量单位的选取有很大的灵活性。Geman,ElKarouiandRochet(1995)证明可以选取不同的计量单位。对于每一个计量单位，都有一个概率与其相对应，从而有不同的定价模型。纯折现债券的价格，不同到期日的远期合约都可以用来作为计量单位。计量单位的选取的灵活性产生了许多利率衍生证券的定价模型。4．随机波幅模型Wiggins(1987)推广了Black-Scholes-Merton期权定价模型。假设（1.2.1）中的瞬时波幅服从一个扩散过程dzdtd这里z是一个标准布朗运动，它和布朗运动w的相关系数为。在这种市场中，因为有两种风险根源z和w，所以不能通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。波幅风险的价格由市场均衡来确定，而一般来说，不存在期权价格闭形式解。Wiggins通过有限差分、Kalman滤子和MonteCarlo模拟计算方法来求解。在波幅风险价格是常数，波幅是同方差的O-U过程的假设下，Heston(1993)得到欧式看涨期权闭形式的解。5．蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟（MonteCarloSimulation）是一种通过模拟标的资产价格随机运动路径得到权证价值期望的数值方法。如果股价运动服从伊藤过程，则当然股价如果服从其他分布，只要给出具体表达式，就可以模拟。蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成的股价价格的随机过程。在股票期权到期的T时刻，标的股票价格的随机过程为zdSSdSddz是一个维纳过程，是风险世界的期望收益率，是股票的波动率。为了模拟路径，我们把期权的有效期分为N个长度为t的时间段，则上式的近似表达式为()()()()SttStSttStt由于金融市场中，更多时候应用lnS来代替S，根据伊藤引理，则有：2()ln()(0.5)SttStdtdz因此：2ln()ln()(0.5)SttSttdz2()()exp[(0.5)SttSttt蒙特卡罗模拟随机产生一组股价终值TS的样本值，即模拟实验。然后为每一个样本值计算期权收益并记录下来。产生足够多样本值后，就可以得到期权收益分布，通常需要计算其期望和标准差。模拟试验的代数平均数常用来估计期权的收益分布期望值，然后用无风险利率对其折现来得到看涨期权的价格。蒙特卡罗模拟的实质是模拟标的变量的随机运动，预测其衍生品的平均回报，并由此得到衍生平价格的概率解。四．总结衍生证券定价的基本思想是，在完备市场中，通过自融资的动态证券组合策略来合成衍生证券，从而衍生证券的价格等于证券组合最初的成本。金融衍生产品的定价强烈依赖于相关标的资产的数学模型，我们基于无套利原则，得到一个风险中性的“公平”价格。金融资产的运动随时间变化，形成一个随机过程，随机过程理论是对观察到的价格进行分析和做出统计推断的基础。期权定价的技巧对产生全球化的金融产品和金融市场起着最基本的作用。由于衍生资产在证券市场中具有分散风险、完备化市场等重要作用，近年来，从事金融产品的创造及定价的行业蓬勃发展，从而使得期权定价理论得到不断的改进和拓展。