第5章曲线与曲面

青岛农业大学第二篇几何青岛农业大学第6章曲线与曲面青岛农业大学青岛农业大学6.1基础知识自由曲线和曲面发展过程自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。1963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面1964-1967年，美国MIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面1971年，法国雷诺汽车，Bezier提出用控制多边形来定义曲线和曲面1974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德,B样条理论用于形状描述1975年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理B样条80年代，皮格尔和蒂勒,将有理B样条发展成非均匀有理B样条，NURBS方法青岛农业大学6.1基础知识从表示形式来看，曲线可分成两大类：规则曲线——自由曲线——可以用标准方程描述的曲线。如圆、椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、摆线等无法用标准方程描述的曲线，通常由一系列实测数据点确定。如汽车的外形曲线、等高线等。曲线青岛农业大学6.1基础知识从生成算法来看，曲线可分成两大类：拟合型设计型对已经存在的离散点列构造出尽可能光滑的曲线，以直观（而忠实）地反映出实验特性、变化规律和趋势等。设计人员对其所设计的曲线并无定量的概念，而是在设计过程中即兴发挥。青岛农业大学6.1.1曲线的表示曲线的表示方法参数表示非参数表示显示表示隐式表示青岛农业大学6.1.1曲线的表示显示表示隐式表示y=fx,=0fxy青岛农业大学6.1.1曲线的表示参数表示参数的含义=[,]=xxttabyytt：表示时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0，1]青岛农业大学6.1.1曲线的表示--以直线为例已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程表示为：)(112121xxxxyyyy直线的隐式方程表示为：211121(y)()0yyfxyyxxxx，青岛农业大学6.1.1曲线的表示直线的参数方程表示为：tyyyytxxxx)()(121121，t∈[0,1]青岛农业大学6.1.1曲线的表示1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关，具有几何不变性；2）有更大自由度来控制曲线的形状；3）容易实现各种线性变换运算；4）曲线的端点、导数等计算简单，避免了无穷大斜率的问题；5）便于曲线的分段描述；6）易于处理多值问题；7）参数的变化约定为[0,1]，自然规定了曲线是有界的。参数表示法的优越性：青岛农业大学曲线构造方法插值法逼近法青岛农业大学6.1.2插值通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数据点。•型值点•控制点用来控制或调整曲线形状的特殊点（不一定在曲线上）•插值点在型值点或控制点之间插入的一系列点。青岛农业大学6.1.2插值插值给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。青岛农业大学6.1.2插值–线性插值线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用线形函数y=Φ(x)=ax+b近似代替，称Φ(x)为f(x)的线性插值函数。青岛农业大学6.1.2插值–抛物线插值抛物线插值(二次插值)已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造函数y=Φ(x)=ax2+bx+c,使得Φ(x)在xi处与f(x)在xi处的值相等。青岛农业大学6.1.3逼近逼近构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。用这种方法建立的曲线数学模型只是近似地接近已知的控制点，并不一定完全通过所有的控制点。控制点控制多边形或特征多边形青岛农业大学6.1.4拟合拟合：在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。青岛农业大学6.1.5曲线的连续性构造复杂曲线时，可以首先构造一些简单的自由曲线,然后将这些简单曲线段连接成复杂曲线。拼接条件：首先必须有连接点，其次必须在连接点处平滑过渡，即需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。青岛农业大学6.1.5曲线的连续性–参数连续性零阶参数连续性（记作C0）：指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。青岛农业大学6.1.5曲线的连续性—参数连续性一阶参数连续性（记作C1）相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。青岛农业大学6.1.5曲线的连续性—参数连续性二阶参数连续性（记作C2）指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。青岛农业大学6.1.5曲线的连续性—几何连续性几何连续性只要求导数成比例，而不是相等。零阶几何连续性（记作G0）：与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段在交点处有相同的坐标。青岛农业大学6.1.5曲线的连续性—几何连续性一阶几何连续性（记作G1）指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比例，但大小不一定相等。青岛农业大学6.1.5曲线的连续性–几何连续性二阶几何连续性（记作G2）指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导数成比例，即曲率一致。青岛农业大学样条曲线在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各实测点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（SplineCurve)。青岛农业大学样条曲线在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段（可为规则/自由曲线段）连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件。青岛农业大学样条曲线的插值通常：进行分段插值n+1个控制点进行分段，建立简单的数学模型；在线段交点处，设置边界条件进行光滑连接。青岛农业大学构造通过5个型值点的抛物线参数样条曲线P1P2P3P4P5这样构造出来的抛物线参数样条曲线完全通过给定的5型值点，除了P1到P2的区间,P4到P5的区间其他两个型值点之间都是重合区间青岛农业大学6.1.6Hermite样条曲线从a3x到a0z有12个系数为代数系数，它们确定了这条参数曲线的形状和位置。系数不同则曲线不同。把上述的代数方程改写为矢量形式P(t)表示曲线上任一点的位置矢量；系数a0表示(a0x,a0y,a0z)一般的三次参数样条曲线的代数形式青岛农业大学6.1.6Hermite样条曲线给出端点坐标、端点坐标的切矢量，即：P(0),P(1),P’(0),P’(1)3210321023211321(0)000(1)111'(0)32'(1)32PaaaaPaaaaPatataaPaaa根据条件，得出方程：青岛农业大学6.1.6Hermite样条曲线0000131111120'001011'32100PaPaPaPa13000102211021111133211100100'00100'032101'10001'aPPaPPaPPaPP3210321023211321(0)000(1)111'(0)32'(1)32PaaaaPaaaaPatataaPaaa矩阵形式：则：青岛农业大学6.1.6Hermite样条曲线2211332100101000Mh3232()[1]10aaPttttaa3201()[1]0'1'PPPttttMhPP令三次参数样条曲线方程可以写成：根据：Hermite矩阵三次Hermite样条曲线的方程青岛农业大学6.1.6Hermite样条曲线上式展开因为它们调和了边界约束值，使在整个参数范围内产生曲线的坐标值。调和函数仅与参数t有关，而与初始条件无关。其中:称为Hermite样条调和函数青岛农业大学6.1.6Hermite样条曲线Hermite样条曲线通过给定的N个型值点构造，每两个型值点之间生成一条Hermite曲线段，Hermite样条曲线由N-1条首尾相连的Hermite曲线构成，并且相邻的Hermite曲线段在连接点处二阶导数相等（C2连续性）Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点Pi、Pi+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。青岛农业大学6.1.6Hermite样条曲线例1：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下：（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）假定各点处的一阶导数数值如下：（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,70）,（70,70）,（-70,70）,（-70,70）,（70,-70）用Hermite插值方法绘制曲线。解：p0=(100,300)p1=(120,200)p0’=(70,-70)p1’=(70,-70)For(t=0;t=1;t=t+0.1)或For(t=0;t=1;t=t+0.01)或青岛农业大学6.1.6Hermite样条曲线解：两段三次Hermite曲线分别为：Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t11+a0t1∈[01]Q2(t2)=b3t23+b2t22+b1t21+b0t2∈[01]依据C2连续充要条件为：Q1(1)和Q2(0)在P点处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小相等例2：试求两段三次Hermite曲线达C2连续的条件。青岛农业大学6.1.6Hermite样条即Q1(1)=Q2(0)、Q1’(1)=Q2’(0)、Q1”(1)=Q2”(0)有Q1(1)=a3+a2+a1+a0Q2(0)=b0因Q1’(t1)=3a3t12+2a2t1+a1Q2’(t2)=3b3t22+2b2t2+b1则Q1’(1)=3a3+2a2+a1Q2’(0)=b1因Q1”(t1)=6a3t1+2a2Q2”(t2)=6b3t2+2b2则Q1”(1)=6a3+2a2Q2”(0)=2b2青岛农业大学6.1.6Hermite样条=两段三次Hermite曲线：Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t11+a0t1∈[01]Q2(t2)=b3t23+b2t22+b1t21+b0t2∈[01]要达到C2连续，其系数必须满足下列关系式：a3+a2+a1+a0=b03a3+2a2+a1=b16a3+2a2=2b2青岛农业大学6.2Bezier曲线1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier提出了一种函数逼近和几何表示相结合的参数曲线表示方法，用这种方法生成的曲线称为Bezier曲线。这种方法的特点是所输入型值点与生成曲线之间的关系明确，能比较方便地通过修改输入参数来改变曲线的形状和阶次。青岛农业大学6.2.1Bézier曲线的定义由一组多边折线的顶点定义,在多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上,第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处切线方向。曲线的形状趋向于多边折线的形状，因此，多边折线又称为特征多边形，其顶点称为控制点。青岛农业大学Bézier曲线的数学表示,0()()nkknkPuPBuu[0,1]Pk为各顶点的位置向量(xk,yk,zk)，称为伯恩斯坦（Bernstain）基函数，也称为特征多边形各顶点位置向量之间的调和函数，其定义如下,(u)knBBezi