5时间序列趋势外推预测

时间序列趋势外推预测•时间序列是指某种经济统计指标的数值，按时间先后顺序排列起来的数列。•时间序列是时间t的函数，若用Y表示，则有：•Y=Y（t）。•时间序列分析预测法•时间序列分析预测法是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势,外推预测目标的未来值。•我们对以下几种序列进行分析预测：具有水平趋势的数据序列、具有非水平趋势的序列、具有线性趋势的数据序列和具有线性趋势和季节波动的数据序列9.1具有水平趋势的时间序列的外推预测•假设某种商品的销售额在某一水平下上下波动。•已知现在的时刻为t，求在t＋1时刻的预测值2345678020406080100TYYvs.T1、朴素预测法•所谓朴素预测法就是直接以本月的销售额做为下月销售额的预测值：•L称为预测期•朴素预测法的优点是简单，成本低，如果序列的变化稳定，波动小就具有一定的预测精度，缺点就是未能充分使用历史的数据信息，受随机波动影响大^ltyly^1ltyy2、平均数预测法•将样本算术平均数作为预测值。•这种方法较朴素预测法具有更高的精度，克服了易受随机干扰的影响，充分使用了历史信息，样本越大，精度越高。_^12ntyyyylyn3、理论模型－常数均值模型•上述方法的理论基础是时间序列的常数均值模型•服从经典假设•该模型可以分成两种•1、已知，则系列的最小均方差预测值为•预测误差为：tty^tyl^tltltyyl•由于，所以预测值为无偏预测。预测方差为•预测区间为：^0tltltEyylE2^22tltltEyylE221tlPUyU•若未知，那么可以通过最小二乘法求估。则：•预测误差为：方差为：^11nttyyn_11110nntltltlttltttEEyyEyyEnn211111varvar1nntlttltttyynnn•由于未知，所以使用估计值代替•则统计量服从t分布：•则预测区间为：•222^112nttyyn^1^2111tlytnn211^^222211111tlPtytnn•预测校正：•如果得到新的观测值后，要进行新的预测就必须根据新得到的数据信息，对原来的预测结果进行校正，作为新的预测值。•假定对时间序列作出的预测值为•现在新增观测值，要在n＋1的基础上对作出预测，预测值记为•或者12nyyy^1y2ny^11ny^^12111^1111111111nnnnnnyyyynyynnnyynn^^^^1^^1111111111nnnnnnnnnyyyyyyyynn9.2有非水平趋势样本序列的趋势外推法•如果时间序列是均值缓慢变动的，则使用局部均值模型。•1.加权滑动平均预测法•滑动平均预测•对时间序列要外推预测值为记•N为滑动平均时段长，预测值随n的变化而变化，称为滑动平均预测值，通过滑动平均可以清除干扰，显示趋势，得到趋势外推预测值。12nyyy^1ny1ny^111nnnNnyyyyN•例1某市汽车配件销售公司某年1月至12月的化油器销售量如表所示。试用简单移动平均法，预测下年1月的销售量。化油器销售量及移动平均预测值表单位：只月份t实际销售量3个月移动平均预测值5个月移动平均预测值1423——2358——3434——4445405—5527412—6429469437742646743985024614529480452466103844694731142745644412446430444——419452•解：分别取N=3和N=5，按预测公式：•计算3个月和5个月移动平均预测值。•当N=3时•当N=5时•计算结果表明：N=5时，MSE较小，故选取N=5。预测下年1月的化油器销售量为452只。5ˆ3ˆ43211211ttttttttttyyyyyyyyyy33.3210928893)ˆ(91122tttyyMSE86.1591711143)ˆ(711262tttyyMSE例2某商业企业季末库存的资料如下表，试用简单移动平均法对该企业下一季末的库存进行预测ttyyˆtyˆ观察期季末库存n=3n=510.610.8————11.1————10.410.830.43——11.210.770.43——1210.91.110.821.1811.811.20.611.10.711.511.670.1711.30.211.911.770.1311.380.521211.730.2711.680.3212.211.80.411.840.3610.712.031.3311.881.1810.411.631.2311.661.2611.211.10.111.440.24tyˆttyyˆ•解：1、分别取n=3，n=5同时计算移动平均预测值，如表所示。•2、计算平均绝对误差：•n=3时，•n=5时，•很明显n=5时的预测误差大于n=3时的预测误差，所以取移动平均期数n=3。•3、对下期库存额进行预测。)(563.01119.6ˆ万元nyyMAEtt)(662.09596ˆ万元nyyMAEtt)(77.1037.104.102.113ˆ12131415万元yyyy•设时间序列为：•加权移动平均公式为•式中：Mtw为t期加权移动平均数；Wt为的权数，它体现了相应的y在加权平均数中的重要性。•利用加权移动平均数来作预测，其预测公式为：•即以第t期加权平均数作为第t+1期的预测值。,,,,21tyyyNt2111211itytwtMy1ˆ例3我国1979~1988年原煤产量如表所示，试用加权移动平均法预测1989年的产量。我国原煤产量统计数据及加权移动平均预测值表单位：亿吨tytyˆ年份t原煤产量三年加权移动平均预测值相对误差（%）19796.35——19806.20——19816.22——19826.666.246.3119837.156.449.9319847.896.8313.4319858.727.4414.6819868.948.188.5019879.288.696.3619889.809.077.45解：取W1=3，W2=2，W3=1，按预测公式：•计算三年加权移动平均预测值其结果列于上表中。1989年我国原煤产量的预测值为：•这个预测值偏低，可以修正。其方法是：先计算各年预测值与实际值的相对误差，例如1982年为：12323ˆ211ttttyyyy)(48.9694.828.9280.93ˆ1989亿吨y%31.666.624.666.6•将相对误差列于上表中，再计算总的平均相对误差：•由于总预测值的平均值比实际值低9.50%，所以可将1989年的预测值修正为：%50.9%10044.5889.521%100ˆ1ttyy)(48.10%)5.91(48.9亿吨例4现仍以例2的数据为例，令n=3，权数由远到近分别为0.1，0.2，0.7tyˆttyyˆ观察期季末库存（万元）加权移动平均预测值10.6——10.8——11.1——10.410.990.5911.210.580.621211.030.9711.811.680.1211.511.780.2811.911.610.291211.810.1912.211.930.2710.712.131.4310.411.130.7311.210.640.56ty某商业企业季末库存资料•解：取W1=0.7，W2=0.2，W3=0.1，按预测公式：•计算n=3的加权移动平均预测值其结果列于上表中。下期预测值为：1.02.07.01.02.07.0ˆ211ttttyyyy)(99.101.02.07.07.101.04.102.02.117.0ˆ15万元y)(55.01105.6ˆ万元nyyMAEtt2.指数平滑法•指数平滑法既不需要存贮很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。•指数平滑法，根据平滑次数不同，有一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。•在加权平均算法中，如果所加权数随数据的时限增长而几何方式减小，则的预测值可以写为：•其中由于则•令则：^ny1ty1^01ntntntyCy101nttC1011nntt11nC1^2120111ntnjnnnnjyyyyy1^212111nnnnyyyy简化得到一次指数平滑公式为：•平滑系数的选择•1、a值就根据时间序列的具体性质在0~1之间进行选择。具体如何选择一般可遵循下列原则：•（1）如果时间序列波动不大，比较平稳，则a应取小一点，如（0.1~0.3）。•（2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则a就取大一点，如（0.6~0.8）。•在实用上，类似移动平均法，多取几个a值进行试算，看哪个预测误差小，就采用哪个。^(1)1(1)1tttyayay例7某市1976~1987年某种电器销售额如下表所示。试预测1988年该电器销售额。tytyˆ年份t销售额a=0.2的预测值a=0.5的预测值a=0.8的预测值1976150515151197725250.850.550.2197834751.0451.2551.64197945150.2349.1347.93198054950.3850.0750.39198164850.1049.5449.28198275149.6848.7748.26198384049.9449.8950.45198494847.9544.9542.091985105247.9646.4846.821986115148.7749.2450.961987125949.2250.1250.99tyˆtyˆ•解：采用指数平滑法，并分别取a=0.2,0.5,0.8进行计算，初始值•即•按预测模型，计算各期预测值，列于上表中.•从上表中可以看出，a=0.2,0.5,0.8时，预测值是很不相同的。究竟a取何值为好，可通过计算它们的均方误差MSE，选使MSE较小的那个a值。•当a=0.2时，•当a=0.5时，•当a=0.8时，•计算结果表明：a=0.2时，MSE较小，故选取a=0.2，预测1988年该电器销售额为：•51221)1(0yyS51ˆ)1(01Sy26.201214.243)ˆ(1211212tttyyMSE07.211282.252MSE45.23124.281MSE)(176.5122.498.0592.0ˆ1988万元y9.3序列有线性趋势的外推预测•对于有线性增长趋势的时间序列，如果采用滑动平均法和指数平滑法去做预测，就会产生滞后，预测值小于实际值。假设线性趋势方程为：•则如果时间从t增加到t+N，如果采用滑动平均法预测得：因此有必要采用二次滑动平均值预测法1ttyybtyabt()tNyabtN^12()(1)2tNtNttNyyyNbyabtN