8.2-单服务台排队模型

顾客源队列服务机构排队系统顾客服务完离开复习：排队规则服务规则排队系统的三个基本组成部分.•输入过程（有限、无限；单个、成批；确定型、随机型。相继到达时间间隔顾客到达•排队规则等待制、损失制、混合制•服务机构1、机构形式：单列、多列、服务台的数量2、服务方式：单个、成批3、服务时间：确定型、随机型顾客２５３３１排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标：①系统中顾客数(队长)L；②排队等待的顾客数(排队长)Lq；③顾客在系统中全部时间(逗留时间)W；④顾客排队等待时间Wq。排队模型的符号定义为：A/B/C/m/NA—顾客到达间隔时间概率分布;B—服务时间的概率分布;C—服务台数；m—顾客源总数N—系统内顾客的容量排队系统的常见分布1、泊松分布设N(Δt)表示在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数，是随机变量。当N(Δt)满足下列三个条件时，我们说顾客的到达符合泊松分布。这三个条件是：(1)平稳性在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数N(Δt)，只与区间长度Δt有关而与时间起点t无关。(2)无后效性在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数N(Δt)，与t以前到达的顾客数独立。(3)普通性在充分短的时间区间Δt内，到达两个或两个以上顾客的概率极小，可以忽略不计，即02lim()0ntnPtt其中λ表示单位时间平均到达的顾客数，即为到达率。在长为t的时间内到达n个顾客的概率为：()()(0)0,1,2,!ntntPtetnn当t=1时，0,1,2,!nnPenn表示单位时间内到达n个顾客的概率。容易计算Poisson分布的总体均数与总体方差相等，均为λ。2、负指数分布当顾客到达符合泊松分布时，顾客相继到达的间隔时间T必服从负指数分布。顾客服务时间常用概率分布也是负指数分布()(0)tftet其中μ表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率。()(0)tTftet例8-1某医院外科手术室任意抽查了100个工作小时，每小时患者到达数n的出现次数如表，问每小时患者的到达数是否服从泊松分布。到达数n0123456≧7出现次数fn1028291610610患者在单位时间内到达数的频数分布2.1/100nnfx（人小时）1、原理判断样本观察频数（A）与理论(期望)频数（T）之差是否由抽样误差所引起。类别或组段观察频数理论频数1A1T12A2T2………kAkTk问题:试判断这份样本,是否来自该理论分布?注意：理论频数Ti不宜过小（如不小于5），否则需要合并组段！2、计算公式到达数(n)出现次数nfenPnn!理论频数100nP2100)100(nnnPPf0100.122412.240.40991280.257125.710.20392290.270027.000.14813160.189018.900.44494100.09929.920.000650.0416≥61670.020723.607.216.40.0952∑1001.00001001.3026221(),1kiiiiATkaaT为参数的个数2、计算公式221()1.3026kiiiiATT16114ka20.05(4)9.488220.05(4)1.30269.488而0.05P卡方分布下的检验水准及其临界值接受假设，即患者到达数的经验分布适合λ=2.1的泊松分布。第二节单服务台M/M/1排队模型第八章排队论M/M/1/∞/∞模型1、模型条件（1）输入过程――顾客源是无限的，单个到来，到达过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从负指数分布；（2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；（3）服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的负指数分布。排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程，设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统（M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表示：01n-1nn+1...λλλλλλμμμμμμ100PP状态：11()1,2,3,nnnPPPn状态n：10PP021()PPPn=1：020()PPP220()PP132()PPPn=2：20302()PPP330()PP类似可得0()nnPP由概率性质可知，01nnP000()nnnnPP0()nnPP令001()nnP01(1)nnPP0其中P是空闲概率，为利用率（服务台处于繁忙的概率）0111P对于M／M／1/∞/∞模型有如下公式：10P)1(nnP1L2()qLLWqqLW例8-2设某医院药房只有一名药剂员，取药的患者按泊松分布到达，平均每小时20人，药剂员配药时间服从指数分布，平均每人为2.5分钟。试分析该药房排队系统的状态概率和运行指标。解：这是一个M/M/1/∞/∞系统，单列，FCFS规则根据题意已知，20/人小时1/2.5/分钟人11/6024/2.52.5人分钟=人小时（1）药剂员空闲率0201110.166716.67%24P20/人小时24/人小时（2）队长若按每天8小时工作时间计算，该药剂员每天的空闲时间约有8×0.1667=1.33小时。2052420L（人）（3）等待队长20/人小时24/人小时（4）平均等待时间22204.167()24(2420)qL（人）4.1670.208312.520qqLW（小时）（分钟）（5）平均逗留时间20/人小时24/人小时50.251520LW（小时）（分钟）（6）系统内有n个患者取药的概率2020(1)(1)()1,2,3,2424nnnPn12313.89%11.57%9.65%PPP如果医院希望有足够的座位给取药的病人坐，或者说病人来取药没有座位的概率不超过5%，试问至少应为病人准备多少座位？095%nkkP0(1)nkk1195%n15%n15.416n解得即至少为病人准备15个座位（正在取药的人除外）。例8-3某医院欲购一台X光机，现有四种可供选择的机型。已知就诊者按泊松分布到达，到达率每小时4人。四种机型的服务时间均服从指数分布，其不同机型的固定费用C1，操作费C2，服务率µ见表。若每位就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元，试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+逗留损失费）最低。表8-3四种机型的使用费用和服务率机型固定费用1C元/小时操作费用2C元/小时服务率人/小时A8605B10756C18847D201208表8-4四种机型在1小时内的综合费用机型固定费用操作费2CL逗留损失费L15综合费fA80.848460116B10325023090C187448342086D20216011595第三节多服务台M/M/Ｃ排队模型第八章排队论一、M/M/C/∞/∞模型1、模型条件（1）输入过程――顾客源是无限的，单个到来，到达过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从负指数分布；（2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；（3）服务机构――多服务台且相互独立，服务时间的长短是随机的，平均服务率相同，服从相同的负指数分布。1、状态概率110kk011C1k1CCP－！＋！＝－＝CPCOPPn!C1Cnn10nCn0nn－！＝C2、主要运行指标qqLW＝1q＋＝WLW02()!(1)cqcLPcqLL例8-6某医院康复科有4台超短波理疗仪，患者的到达服从泊松分布。平均每小时到达12人，每人理疗时间服从指数分布，每台每小时平均服务4人，患者到达后排成一列，一次就诊。求：①4台一起同时空闲的概率②计算系统的数量指标；③患者到达后必须等待的概率。二、M/M/C模型与C个M/M/1模型的比较例某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，平均到达率为每分钟0.9人，挂号员服务时间服从指数分布，平均服务率每分钟0.4人，现假设就诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然系统的容量和顾客源是不限的，属于M/M/C型的排队服务模型。求：该系统的运行指标。3,0.9/0.4/0.93C30.44C解：人分钟，人分钟，0748.03/2.251132.2522.2512.2502.251132100－！＋！＋！＋！＝整个挂号间空闲的概率P人＝称队列长等待挂号的平均人数或7.10748.0!34/32.2523qL人＝称队长挂号间平均逗留人数或95.325.27.13qLL分钟＝＋＝在挂号间平均逗留时间分钟等候挂号的平均时间4.390.411.89589.19.07.14WWq57.00748.04/132.253363！＝闲）的概率人或各挂号员都没有空者不少于（即系统中就诊就诊者到达后必须等待NP如果在上例中，就诊者到达后在每个挂号窗口各自排成一队，即排成3队，且进入队列后不离开，各列间也互不串换，这就形成3个队列，而前例中的其它条件不变。假设每个队列平均到达率相等且为：λ1＝λ2＝λ3＝0.9/3＝0.3（人/分钟）这样，原来的M/M/3系统就变成了3个M/M/1型的子系统。现按M/M/1型计算主要运行指标，并与上面的例子进行对比分析，结果见表30.3/0.4/解：个M/M/1系统，人分钟，人分钟，（1）挂号间空闲的概率10P0.3110.410.254（2）就诊者必须等待的概率0(1)110.250.75PNP30.3/0.4/解：个M/M/1系统，人分钟，人分钟，（3）每个系统的平均等待队长0.330.40.3L（人）20.0992.25()0.4(0.40.3)4qL（4）每个系统的平均队长30.3/0.4/解：个M/M/1系统，人分钟，人分钟，（5）每个系统的平均逗留时间（6）每个系统的平均等待时间3100.3LW（分钟）2.257.50.3qqLW（分钟）两个模型的比较指标（1）M/M/3型（2）M/M/1型挂号间空闲的概率0.07480.25（各子系统）就诊者必须等待的概率P(N3)=0.570.75平均队列长1.7（人）2.25（人）（各子系统）平均队长3.95（人）3（人）（各子系统）平均逗留时间4.39（分钟）10（分钟）平均等待时间1.89（分钟）7.5（分钟）优于